Основні рівняння багатополюсників

РОЗДІЛ 3

ОСНОВИ АНАЛІЗУ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ З БАГАТОПОЛЮСНИКАМИ

Одним із ефективних методів аналізу електроенергетичних систем є метод декомпозиції, який застосовується у двох модифікаціях — методу підсхем і методу діакоптики. Суть методу підсхем полягає в розчленуванні складних схем на частини (підсхеми), формуванні їхніх рівнянь стану (математичних моделей) у вигляді рівнянь багатополюсників і розв'язуванні сукупності рівнянь таких багатополюсників разом з рівняннями, що відтворюють зв'язок останніх у схемі. За рахунок того, що багатополюсники описуються рівняннями тільки відносно зовнішніх координат, порядок системи рівнянь схеми знижується У методі діакоптики розчленовується сама математична модель схеми (рівняння її стану) на підмоделі, які далі спрощуються так, щоб вони містили тільки рівняння відносно координат, по яких здійснено розчленування. Сукупність спрощених підмоделей разом з математичними моделями (рівняннями) їхнього зв'язку становлять нову модель, що має нижчий порядок.

На практиці найчастіше застосовують метод підсхем, який у літературі часто необгрунтовано ототожнюють з методом діакоптики. З погляду загальної теорії електричних кіл тут маємо справу з аналізом кіл, складених з багатополюсників і двополюсників. В ЕЕС багатополюсники — це електричні машини, електромагнітні апарати; як багатополюсники можна розглядати також ділянки мереж.

ОСНОВНІ РІВНЯННЯ БАГАТОПОЛЮСНИКІВ

Багатополюсник — це в загальному випадку частина схеми (підсхема) кола, яка розглядається відносно певної сукупності виділених у ній вузлів — полюсів. Рівняння, що зв'язують між собою зовнішні струми та напруги багатополюсників, називають рівняннями багатополюсника.

Розглянемо деякий у загальному випадку активний (з внутрішніми джерелами енергії) багатополюсник, сполучений своїми полюсами із зовнішнім колом (рис.3). Струми багатополюсника називають полюсники спірної напруги — напругами сторін.

Розглядаючи багатополюсник як узагальнений вузол, для його полюсних струмів за першим законом Кірхгофа запишемо

Отже, багатополюсник має лінійно-незалежних полюсних струмів.

Для напруг сторін за другим законом Кірхгофа запишемо

Це означає, що в багатополюсника кількість лінійно-незалежних напруг сторін також дорівнює .

Рис. 3.1 Рис. 3.2

У загальному випадку багатополюсник може бути сполучений з декількома зовнішніми колами (рис. 3.2). Розглядаючи ці кола й багатополюсник як узагальнені вузли (їх буде ), а також їхні зовнішні контури, за законами Кірхгофа легко встановити, що лінійно-незалежних полюсних струмів і лінійно-незалежних напруг сторін у цьому випадку .

Очевидно, загальним випадком рівнянь багатополюсника будуть рівняння при сполученні багатополюсника з одним зовнішнім колом.

Виведемо рівняння багатополюсника, складеного з двополюсних елементів. Практично всі пристрої, що застосовуються в електроенергетиці, можна під час аналізу усталених режимів звести до такого типу багатополюсників. В іншому випадку рівняння багаюполюсників знаходять спеціальними методами або експериментально.

Щоб дістати рівняння багатополюсника, необхідно скласти рівняння його стану як електричного кола в цілому (з врахуванням внутрішньої структури багатополюсника) і, усунувши з них струми та напруги внутрішніх елементів, одержану систему рівнянь звести до рівняння зв'язків їхніх зовнішніх струмів і напруг. Очевидно, кількість координатних рівнянь багатополюсників становить з зовнішніми струмами та напругами.

Звичайно рівняння багатополюсників одержують на основі методів незалежних координат (незалежних чи контурних струмів, або незалежних чи вузлових напруг).

Спершу виведемо векторне рівняння на основі незалежних струмів. У цьому методі рівняння для всіх контурів багатополюсника (зовнішніх і внутрішніх) згідно з (2.31) запишемо

(3.1)

де — матриця імпедансів незалежних струмів; — вектор-стовпець незалежних струмів, який містить вектор-стовпець незалежних полюсних струмів та вектор-стовпець незалежних струмів внутрішньої схеми багатополюсника , тобто ; — вектор-стовпець джерел напруг, який містить – вимірний вектор-стовпець джерел напруг – зовнішніх контурів багатополюсника й вектор-стовпешь , джерел напруг контурів внутрішньої схеми багатополюсника, тобто — вектори-стовпці еквівалентних джерел ЕРС зовнішніх і внутрішніх контурів багатополюсника.

Відповідно до ділення багатовимірних векторів поділимо матрицю імпедансів незалежних струмів. Тоді рівняння (2.1) набере вигляду

або

(3.2)

Після усунення з (3.2) дістаємо

(3.3)

де

(3.4)

Вектор-стовпець записуємо як суму двох компонентів

де — багатовимірний вектор-стовпець напруг сторін багатополюсника — вектор-стовпець ЕРС і еквівалентних джерелам струмів ЕРС внутрішньої схеми багатополюсника, які входять до його зовнішніх контурів. Позначаючи

(3.5)

одержуємо з (3.4) загальне рівняння багатополюсника

(3.6)

яке зв'язує полюсні струми та зовнішні напруги.

Як видно з (3.6), вектор-стовпець є вектором-стовпцем напруг між полюсами багатополюсника при його неробочому ході, тобто при Якщо то багатополюсник називається пасивним. Для такого багатополюсника основне рівняння має вираз

(3.7)

Перейдемо до виведення рівнянь багатополюсника на основі методу незалежних напруг. Для цього підберемо систему незалежних напруг так, щоб перші напруг були зовнішніми напругами , інші — відповідно внутрішніми напругами тобто вектор-стовпець незалежних напруг

Рівняння незалежних напруг багатополюсника

(3.8)

Вектор-стовпець містить компоненти струмів вузлів, у тому числі й струми полюсів. Вектор-стовпець струмів короткого замикання віток — це струми, частина яких належить до полюсів і частина до внутрішніх вузлів.

Позначимо

Вектор-стовпець розділимо на вектор-стовпець струмів у полюсах та вектор-стовпець струмів внутрішніх вузлів

Розбиваючи відповідно до цього матрицю провідностей, дістаємо

(3.9)

або

Усуваючи , знаходимо

(3.10)

Вектор-стовпець струмів у полюсах дорівнює сумі полюсних струмів і струмів ДС у цих вузлах, а також струмів коротких замикань віток, що інциденті з полюсами, тобто