2015-07-03
3477Доказательства бывают прямые и косвенные. Прямые доказательства, в свою очередь, делятся на синтетические и аналитические.
· I. Рассмотрим синтетический метод доказательства
Исходным моментом синтетического доказательства является условие теоремы. На основе предыдущих предложений и законов логики условие теоремы постепенно преобразуют до тех пор, пока не приходят к заключению. К достоинствам синтетического метода относятся: исчерпывающая полнота, сжатость, краткость (обычно он применяется при изложении уже разработанных математических теорий, известных доказательств или доказательств, отыскание которых не вызывает у учащихся затруднения). Синтетический метод в методическом отношении имеет и свои недостатки. Остается неясным, как можно обнаружить такое доказательство, почему в рассуждениях поступают так, а не иначе; дополнительные построения никак не аргументируются; учащиеся, слушая или читая доказательство, воспринимают его пассивно, соглашаются с истинностью каждого умозаключения и не представляют, в каком направлении должны протекать дальнейшие рассуждения. Этот способ мало способствует самостоятельному открытию доказательства; идея, план рассуждений остаются скрытыми от учащихся.
|
|
|
Пример. Доказать, что если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырехугольник — параллелограмм. Приведем краткую запись теоремы: 
,
Доказательство. Выполним дополнительное построение: Проведем диагональ АС. Тогда:
1) (АВ=DС, ВС=АD, АС— общая) 
(ΔАВС=ΔСDА) (на основании третьего признака равенства треугольников);
2) (ΔАВС=ΔСDA, АВ=DС) (
АСВ= САD);
3) (ΔАВС=ΔСDA, ВС=AD) ( ВAC= АCD) (на основании определения равенства двух треугольников);
4) п.2 ВС || АD)
5) п.3 (АВ || DС) (на основании признака параллельности двух прямых);
6) (пп. 4 и 5) (ABCD — параллелограмм) (на основании определения параллелограмма).
Обратите внимание на то, что здесь приводится еще одна форма представления доказательства в виде конечной последовательности предложений.
Компенсировать недостатки синтетического метода помогают следующие методические приемы.
1. Прием формулирования общего замысла (идеи) доказательства.
2. Прием мотивировки дополнительных построений.
3. Прием приведения плана доказательства.
4. Прием проведения доказательства с опорой на краткую его запись.
5. Прием составления блок-схемы доказательства.
6. Прием составления таблицы с двумя параллельными колонками: «Утверждение» и «На основании».
· II. Обратимся к аналитическому методу доказательства.
Восходящий анализ (анализ Паппа). При доказательстве методом восходящего анализа отталкиваются от заключения теоремы и подбирают для него достаточные условия. В символической записи процесс доказательства методом восходящего анализа можно представить следующим образом. Пусть «А В» —данная теорема. Для заключения В подбираем достаточное условие А1, т. е. такое условие, что А1 В. Для А1, в свою очередь, находим достаточное условие А2: А2 A1 и т. д. Подбор достаточных условий продолжается до тех пор, пока для какого-либо Аi точным условием окажется условие теоремы, т. е. условие А: А Ai. В итоге доказательство теоремы завершается: А Ai, Аi Ai-1, А1 B. Следовательно, А B.
|
|
|
Приведем доказательство теоремы: «Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то четырехугольник—параллелограмм» методом восходящего анализа.
1. Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, достаточно доказать, что BC || AD и AB || DC. (A1)
2. Для доказательства параллельности сторон четырехугольника достаточно доказать равенство накрест лежащих углов, образуемых при пересечении двух прямых третьей. (А2)
3. Такие накрест лежащие углы можно получить, если провести диагональ AC:
ACB и CAD; BAC и ACD. (А3)
4. Для доказательства равенств ACB= CAD и BAC= ACD достаточно доказать равенство треугольников АВС и CDA. (A4)
5. Для доказательства равенства треугольников АВС и CDA достаточно установить справедливость равенств: AD=ВС, АВ=DC, AC=AC,a эти равенства выполняются. (A)
Теорема доказана.
Нисходящий анализ (анализ Евклида). При нисходящем анализе рассуждения также начинают с заключения теоремы, однако подбирают уже не достаточные, а необходимые условия. Выведение необходимых условий продолжают до тех пор, пока не придут к очевидному следствию, представляющему собой или условие теоремы, или ранее изученное предложение. Если окажется возможным провести рассуждения в обратном порядке, при котором условие теоремы или очевидное предложение выступают отправной посылкой, то получим искомое доказательство.
Итак, пусть А B — данная теорема. Допустим, что из заключения теоремы В выводится следствие B1: B B1, из B1, в свою очередь,—следствие B2 и т. д.:
B=B1, B1 B2, …, Bi-1 Bi, Bi A. (1)
Если возможно провести рассуждения в обратном порядке:
A Bi, Bi Bi-1,…, B2 B1, B1 B, (2)
то получим доказательство теоремы.
Понятно, что цепочка рассуждений (1) не является доказательством теоремы. Цель ее — чисто методическая: найти доказательство (2).
Если обратиться к рассмотренной выше теореме, то нисходящий анализ может быть проведен следующим образом:
1. Пусть ABCD — параллелограмм. (B)
2. Тогда BC || AD и AB || DC. (B1)
3. Тогда ACB= CAD, BAC= ACD (как накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей). (B2)
4. Из равенства этих углов с учетом того, что АС— общая сторона ΔABC и ΔCDA, следует: ΔABC = ΔCDA. (B3)
5. Тогда AD=BC, AB=DC, AC = AC. (A)
Итак, B=B1, B1 B2, B3 A.
Обратимся к косвенному доказательству. В школьной практике обычно оно называется методом от противного. Доказательство теоремы A B начинают с допущения, что из А не следует В. Тогда имеет место истинность предложения A и ложность предложения В. Из предложения (А и 
) выводят следствие В1, из предложения В1 — следствие В2 и так далее, пока не получится следствие Вi,находящееся в противоречии либо с условием теоремы, либо с одним из ранее изученных предложений. Полученное противоречие означает, что допущение 
неверно, а, значит, верно предложение А В. Следовательно, теорема А В доказана.
