ДОПОЛНЕНИЕ
А. Пример расчета многоканальной системы
массового обслуживания с отказами методом Монте— Карло
Пусть в систему массового обслуживания с отказами (заявка покидает такую систему, если все каналы заняты), состоящую из N каналов, поступает простейший поток заявок (см. гл. VI, § 6), причем плотность распределения промежутка времени между двумя последовательными заявками задана:
f(τ) = λ е-λτ (λ > 0, 0 < τ <∞).
Каждая заявка поступает в первый канал. Если первый канал свободен, то он обслуживает заявку; если первый канал занят, то заявка поступает во второй канал, обслуживается им (если канал свободен) или передается в третий канал (если первый и второй каналы заняты) и т. д.
В случае, если в момент поступления заявки все каналы заняты, наступает отказ, т. е. поступившая заявка не обслуживается и из дальнейшего рассмотрения исключается.
Ведется подсчет числа обслуженных заявок и числа отказов. Если заявка обслужена, то в «счетчик обслуженных заявок» добавляют единицу; при отказе единицу добавляют в «счетчик отказов».
|
|
Ставится задача: найти математические ожидания числа обслуженных заявок и числа отказов за заданное время Т. Для решения этой задачи производят п испытаний, каждое длительностью Т, и определяют в каждом испытании число обслуженных заявок и число отказов.
Введем обозначения:
tобсл —длительность обслуживания заявки каналом;
ti,—момент освобождения (i -го канала;
Тk —момент поступления k-й заявки;
τk —длительность времени между поступлениями k- йи (k+1)-й заявок; Tk+ 1 =Tk+τk —момент поступления (k+1)-й заявки, п— число испытаний.
Пусть первая заявка поступила в момент T 1 = 0, когда все каналы свободны. Эта заявка поступит в первый канал и будет им обслужена за время tобсл. В счетчик обслуженных заявок надо записать единицу.
Разыграем момент T 2, поступления второй заявки, для чего выберем случайное число r 1 и разыграем τ 1 (учитывая, что τ распределено по показательному закону) по формуле (см. гл. XXI, § 7, пример 2)
τ 1 = - (1 /λ) lnr1.
Следовательно, вторая заявка поступит в момент времени
T 2 =T 1+ τi =0+ τi = τi.
Если окажется, что t 1≤ T 2 (вторая заявка поступила после того, как первый канал освободился), то вторая заявка будет обслужена первым каналом и в счетчик обслуженных заявок надо добавить единицу.
Если же окажется, что t 1> T 2, то первый канал занят, и заявка поступит во второй канал и будет им обслужена, поскольку расчет начат в предположении, что все каналы свободны; в счетчик обслуженных заявок надо добавить единицу.
Дальнейший расчет производится аналогично. Если в некоторый момент времени поступления очередной заявки все каналы заняты, то наступает отказ и в счетчик
|
|
отказов надо добавить единицу.
Испытание заканчивается, если очередная заявка поступит в момент времени, превышающий момент окончания испытания, т. е. если Тk+ 1> Т.
В итоге i -го испытания в счетчиках окажутся соответственно число обслуженных заявок mi обсл и число отказов miотк.
Пусть произведено всего п испытаний, каждое длительностью Т, причем i- м испытании зарегистрировано mi обсл обслуженных заявок и miотк отказов. В качестве оценок искомых математических ожиданий принимают выборочные средние:
Для вычисления наименьшего числа испытаний,которыес надежностью γ обеспечат наперед заданнуюверхнююграницу ошибки δ, можно использовать формулу (см. гл. XVI. § 15, замечание 2)
где t находят по равенству Ф(t)=γ/2, σ =1/λ (см. гл. XIII. § 3).
Пусть, например, известны среднее квадратнческое отклонение σ =4 и γ=0,95, δ =0,7. Тогда Ф(t)=0,95/2=0,475 и t =1,96.
Минимальное число испытаний
Предполагалось, что время обслуживания—неслучайная величина; если время обслуживания случайно, то расчет производится аналогично. Разумеется для разыгрывания случайного времени обслуживания надо задать законы его распределения для каждого канала.
На практике расчет производят ЭВМ.