Данное уравнение является общей формой записи закона распределения скоростей молекул, справедливой для любых интервалов скоростей

Учитывая, что относительная скорость u=v/v_в и что в нашей задаче v₁=v_в и v₂=4, получим: u₁=1, и u₂=¥. Следовательно, искомая часть молекул:

Чтобы избежать математических трудностей, связанных с нахождением неопределенного интеграла, воспользуемся тем очевидным фактом, что скорости всех молекул лежат в интервале от 0 до ¥. Поэтому, если обозначить через DN' число молекул, скорости которых меньше наиболее вероятной, т. е. лежат в интервале от 0 до 1, то можно записать:

.

Таким образом, вместо того, чтобы искать DN/N можно найти

,

а затем вычислить DN/N.

Так как зтот интеграл аналитически не вычисляется, то воспользуемся методом приближенного интегрирования. Для этого разложим подынтегральную функцию f(u)=exp(-u²)×u² в ряд Маклорена:

exp(-u²)=1-u²/1+u⁴/2-u⁶/6+u⁸/24-...

exp(-u²) u²=u²-u⁴/1+u⁶/2-u⁸/6+u¹⁰/24-...

Теперь, произведя интегрирование, имеем:

DN'/N=4(1/3-1/5+1/14-1/54+1/264...)/p^1/2.

Ограничиваясь первыми четырьмя членами разложения, найдем (с погрешностью, не превышающей 0,01):

DN'/N=0,43.

Тогда

DN/N=1-0,45=0,57.

Ответ: DN/N=0,57.

Задача 6

Пылинки массой m=10^{-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1%. Температура} T воздуха во всем объеме одинакова и равна 300 К.

Решение. При равновесном распределении пылинок концентрация их зависит только от координаты y по оси, направленной вертикально. В этом случае к распределению пылинок можно применить формулу Больцмана

Так как в однородном поле силы тяжести U=mgy, то

По условию задачи, изменение Δn концентрации с высотой мало по сравнению с n (Dn/n=0,01), поэтому без существенной погрешности изменение концентрации n можно заменить дифференциалом dn.

Дифференцируя выражение по z, получим

Так как

,

то

dn=- mgndy/kT.

Отсюда находим интересующее нас изменение координаты:

dy=- kT dn/mgn.

Знак минус показывает, что положительным изменениям координаты (dy>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (dn<0).

Знак минус опустим (в данном случае он несущественен) и заменим дифференциалы dy и dn конечными приращениями Dy и Dn:

Dy=kTDn/mgn.

Выразив входящие в формулу величины в системе СИ, подставив их в эту формулу, произведем вычисления

Dy=1,38×10^-23×300×0,01/10^-21×9,81=4,23×10^-3 м=4,23 мм.

Ответ: Dy=4,23×10^{-3 м.}

Задача 7

Барометр в кабине летящего самолета все время показывает одинаковое давление p=79 кПа, благодаря чему летчик считает высоту h полета неизменной. Однако температура воздуха за бортом самолета изменилась с t=5^oC до t=1 ^oC. Какую ошибку h в определении высоты допустил летчик? Давление p у поверхности Земли считать нормальным.

Решение. Для решения задачи воспользуемся барометрической формулой

.

Барометр может показывать неизменное давление p при различных температурах T₁ и T₂ за бортом только в том случае, если самолет находится не на высоте h₁ (которую летчик считает неизменной), а на некоторой другой высоте h₂.

Запишем барометрическую формулу для двух случаев:

;

.

Найдем отношение p_o/p и обе части полученных равенств прологарифмируем:

Из полученных соотношений выразим высоты h₁ и h₁ и найдем их разность

Проверим, дает ли правая часть полученного равенства единицу длины:

Выразив величины в СИ, подставив их в полученную формулу, произведем вычисления:

Ответ: Δh=-28,5 м.

Индивидуальные задания

1. Решите задачу из задачника [2] (ПК-1, ПК-3) № 5,22; 5,28; 5,29; 5,30; 5,47; 5,49; 5,68; 5,71; 5 72; 5.79.

Тема № 10

«Первый и второй законы термодинамики»

Вопросы для самостоятельного изучения

1. В чем отличие термодинамического метода исследования тепловых процессов от метода исследования молекулярной физики?

2. Что называют термодинамическим процессом? Какие процессы называют обратимыми и какие необратимыми?

3. Дайте определения работы, количества теплоты, внутренней энергии.

4. Сформулируйте первое начало термодинамики. Приведите иллюстрирующие его примеры.

5. Чему равна работа, совершаемая газом при изохорическом, изобарическом и изотермическом процессах?

6. В чем сущность второго начала термодинамики?

7. Дайте определение энтропии. В каких процессах энтропия остается постоянной и в каких она возрастает?

8. Какое состояние термодинамической системы называют стационарным? Чем оно отличается от равновесного? Приведите примеры.