Теорема КАМ

Колмогоров, Арнольд, Мозер

Системы, близкие к интегрируемым

. (1)

Уравнения Гамильтона

(2)

Если , то система является полностью интегрируемой и ее решения будут покрывать n-мерные концентрические торы.

Исследования показали: при достаточно малых большинство нерезонансных торов сохраняется и лишь немного деформируется.

Качественная формулировка теоремы КАМ:

Если невозмущенная гамильтоновская система невырождена, то при достаточно малом консервативном гамильтоновском возмущении большинство нерезонансных инвариантных торов не исчезает, а лишь немного деформируется, так что в фазовом пространстве возмущенной системы существуют инвариантные торы, заполненные всюду плотно фазовыми кривыми, обматывающими их квазипериодически. При достаточно малых энергетическую гиперповерхность можно разбить на две области ненулевого объема. Большая из них содержит деформированные нерезонансные торы невозмущенной задачи, а в меньшей области (объем которой стремится к нулю при ) движение оказывается очень сложным.

Условие невырожденности означает, что

. (3)

Условие (3) – это условие функциональной независимости частот .

Возмущение действует так. Оно разрушает торы, лежащие в малой окрестности резонансных торов. При разрушенные торы лежат между инвариантными торами.