Экономические показатели производства культур

Показатели	Озимая пшеница	Кукуруза на зерно	Сахарная свекла
Затраты труда на 1 га - ручного, чел.-дн.	0,6	1,9	17,5
- механизированного, тракторо-смен	0,9	2,9	2,2
Стоимость продукции, ден.ед.	288,0	172,0	500,0
Затраты материально-денежные на 1 га, ден.ед.
Уменьшение материально-денежных затрат с увеличением площади посева на 1 га, ден.ед.	0,03	0,15	0,07

Найти оптимальное сочетание отраслей, обеспечивающее максимум прибыли в стоимостном выражении.

Обозначения.

Переменные задачи:

x₁, га – посевная площадь под озимой пшеницей;

x₂, га - посевная площадь под кукурузой на зерно;

x₃, га - посевная площадь под сахарной свеклой.

Ограничения задачи:

Баланс орошаемой пашни, га

x₁+х₂+х₃ ≤ 300, [ га ]=[ га ]

Баланс ручного труда, чел.-дн.

0,6х₁+1,9х₂+17,5х₃ ≤ 3000, [(чел.-дн./га) × га ] = [чел.-дн. ]

Баланс механизированного труда, тракторо-смен

0,9х₁+2,9х₂+2,2х₃ ≤ 800, [тракторо-смен /га) × га ] = [тракторо-смен]

Условия неотрицательности переменных

x_j ≥ 0; j=1,2,3

Целевая функция

Max Z = (288 - (45-0,03)х₁)х₁+(172 - (77-0,5)х₂)х₂+(500 - (150-0,07)х₃)х3 = 243х₁+0,03х₁²+95х₂ +0,5х₂²+350 х3 +0,07х₃²

[ ден.ед. ] = [ ден.ед. /га) × га ]

Формы записи задачи выпуклого программирования

Любую задачу выпуклого программирования можно привести к задаче с линейной целевой функцией и выпуклыми функциями системы ограничений. Такая запись выпуклой задачи называется канонической формой.

Пусть задана исходная форма общей задачи выпуклого программирования:

min Z = f(X) = f(x₁, x₂,...,x_n),

j_i (X) £ 0, i = 1 ¸ m,

X ³ 0, где f(X) – выпуклаяфункция,

j_i(X) – выпуклые функции, i = 1 ¸ m.

В общем случае канонической формой для задачи выпуклого программирования является запись:

min Z = С₁x₁+С₂x₂+...+C_n x_n - целевая функция,

система ограничений

j_i(X) £ 0, i = 1 ¸ m,

X (x₁, x₂,...,x_n) ³ 0, j_i(X) – выпуклые функции, i = 1 ¸ m.

Частный случай записи канонической формы:

Пусть задана исходная форма общей задачи выпуклого программирования:

min Z= f(X)= f(x₁, x₂,...,x_n),

j_i(X) £ 0, i = 1 ¸ m,

X ³ 0,

где f(X) – выпуклаяфункция,

j_i(X) – выпуклые функции, i = 1 ¸ m.

Вектор X (x₁, x₂,...,x_n) имеет n переменных, тогда для перехода к канонической форме введем дополнительную переменную x_n+1.

Получим запись:

min Z = x_n+1,

система ограничений

j_i(X) £ 0, i = 1 ¸ m,

f(X) - x_n+1 £ 0,

X ³ 0, где f(X) – выпуклаяфункция,

j _i(X) – выпуклые функции, i = 1 ¸ m.

То есть в каноническую форму вводится и новое ограничение, и новая переменная. Или

min Z = x_n+1,

система ограничений

j_i(X) £ 0, i = 1 ¸ m,

f(X) £ x_n+1,

X (x₁, x₂,...,x_n) ³ 0, где f(X) – выпуклаяфункция,

j_i(X) – выпуклые функции, i = 1 ¸ m.

Данная исходная форма общей задачи выпуклого программирования и каноническая форма общей задачи выпуклого программирования являются эквивалентными, если установить правило соответствия допустимых решений путем приписывания и отбрасывания дополнительной переменной x_n+1 .