Экстремум функции нескольких переменных. Схема исследования

Чтобы понять, существует ли экстремум в подозрительной на экстремум

точке функции двух переменных z = z (x, y), необходимо:

1. Вычислить в рассматриваемой точке вторые частные производные

2. Вычисляется значение выражения D = AC – B ².

3. В случае D < 0 в рассматриваемой критической точке экстремума нет,

в случае D = 0 необходимы дополнительные исследования.

4. В случае D > 0, A > 0, что влечет за собой условие C > 0, в рассматри

ваемой критической точке минимум; в случае D > 0, A < 0, что влечет за собой

условие C < 0, в рассматриваемой критической точке максимум.

Пример 1

Исследовать на экстремум функцию

Решение. Находим частные производные:

(2.30)

Приравниваем частные производные нулю:

(2.31)

Решаем систему уравнений (2.31). Вычитая из первого уравнения второе, получим , поэтому x₁ = x₂, и из первого уравнения найдем , откуда x₁ = 0 или x₁ = ±1.

Имеем три стационарные точки: X¹ = (0; 0); X² = (1; 1); X³ = (-1; 1).

Найдем вторые частные производные, используя (2.30):

Вычисляем значения вторых частных производных в каждой стационарной точке, составляем определитель Δ и применяем достаточные условия экстремума.
В точке X¹ = (0; 0) a₁₁ = - 2; a₁₂ = a₂₁ = - 2; a₂₂ = - 2;

Вопрос об экстремуме остается открытым (такая точка называется седловой). В точке X² = (1; 1) (а также и в точке X³ = (-1; 1)):

Функция в этих точках имеет минимум, так как Δ > 0, a₁₁ > 0.

Z _min = -2 ¹