Постановка задачи

Предположим, что исходная система, содержащая один нелинейный элемент, приведена к виду, показанному на рисунке 1. Входное воздействие будем предполагать импульсным. То есть система выводится из положения равновесия (в некоторую точку фазового пространства), после чего входное воздействие равно нулю.

Рис. 1.

Таким образом, мы будем рассматривать собственные движения системы. Нас будет интересовать, имеет ли место в системе автоколебания, и каковы их параметры. С математической точки зрения задача состоит в том, чтобы определить имеются ли предельные циклы Пуанкаре в фазовом пространстве, каковы их параметры. Решить вопрос об устойчивости предельных циклов (после того, как они найдены). Нужно отметить, что поставленная задача значительно труднее, чем задача об исследовании положения равновесия, и её решение в общем виде на сегодняшний день отсутствует.

Академиком А.Андроновым и его учениками (Горьковская школа по теории колебаний) был разработан в середине сороковых годов метод точечных преобразований и с его помощью были найдены точные решения классических задач авторегулирования второго порядка и в некоторых случаях третьего порядка. Отметим, что нелинейные элементы в этих задачах были кусочно-линейными. Дальнейшее продвижение в этом направлении, т.е использование точечного метода для преобразования систем более высокого порядка, связано со значительными трудностями.

Поэтому ниже мы приведем только один результат точного решения задачи изучения автоколебаний для систем сколь угодно высокого порядка, полученный В.А.Якубовичем.