Постановка задач интерполяции. Исходные данные для решения задач, условия построения сплайнов

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ АППРОКСИМАЦИИ И ИНТЕРПОЛЯЦИИ

Аппроксимация (интерполяция) функций заключается в приближенной замене заданной функции f (x) некоторой функцией h (x) так, чтобы отклонение функции h (x) от f (x) в заданной области было наименьшим. Функция h (х) при этом называется аппроксимирующей. Типичной задачей аппроксимации функций является задача интерполяции. Необходимость интерполяции функций в основном связана с двумя причинами:

1. Функция f (x) имеет сложное аналитическое описание, вызывающее определенные трудности при его использовании (например, f (x) является спецфункцией: гамма-функцией, эллиптической функцией и др.).

2. Аналитическое описание функции f (x) неизвестно, т.е. f (x) задана таблично.

Табличный способ обычно возникает в результате эксперимента. Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных которые не определены таблицей. При этом необходимо иметь аналитическое описание, приближенно представляющее f (x) (например, для вычисления значений f (x) в произвольных точках, определения интегралов и производных от f (x) и т.п.). Для решения этой задачи определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой аппроксмирующей, а действие замены аппроксимацией.

Простейшая задача интерполяции заключается в следующем. На отрезке [ a, b ] заданы n +1 точки x_i=х ₀, х ₁ ,..., х_n, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f (x) в этих точках

f (x ₀) =y ₀, f (x ₁) =y ₁ ,..., f (x_n) =y_n

Требуется построить функцию Ф(х) (интерполяционная функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f (x), т. е. такую, что

F(x ₀) =y ₀, F(x ₁) =y ₁ ,..., F(x_n) =y_n

Геометрически это означает, что нужно найти кривую y =F(х) некоторого определенного типа, проходящую через заданную систему точек M(x_i, y_i) (i = 0, 1 ,..., n) (//).

В такой общей постановке задача может иметь бесконечное множество решений или совсем не иметь решений.

Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции Ф(х) искать полином j(х) (интерполяционный полином) степени не выше n, удовлетворяющий условиям (//), т. е. такой, что

j(x ₀) =y ₀, j(x ₁) =y ₁ ,..., j(x_n) =y_n

Полученную интерполяционную формулу

обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции ¦ (х) для значений аргумента х, отличных от узлов интерполяции. Такая операция называется интерполяцией функций.

Различают два вида интерполяции:

1. глобальная – соединение всех точек f (х) единым интерполяционным полиномом;