Скорость взаимодействия

2.1 Скорость распадов

При изучении радиоактивного распада ядер было выяснено, что число нераспавшихся ядер к моменту времени t описывается законом
(1)
где N0 - число нераспавшихся ядер в момент t=0, T - период полураспада, t=T/ln2 -среднее время жизни ядра.

Закон изменения числа нераспавшихся частиц N(t) обладает рядом свойств: график имеет вид монотонно спадающей с течением времени функции; за равные промежутки времени число нераспавшихся частиц убывает в одно и то же число раз; график идет тем круче, чем меньше среднее время жизни. Еще одно свойство заслуживает особого внимания. Из формулы (1) следует, что
(2)
-скорость изменения числа нераспавшихся ядер в момент времени t пропорциональна самому числу ядер.

Опыт показал, что закон распада радиоактивных ядер является универсальным. По этому же закону убывает число нестабильных элементарных частиц одного и того же сорта. Удивительно, но закон работает и при чрезвычайно малых временах жизни частиц.

При больших числах частиц величина N(t)/N0 равна вероятности P уцелеть одной частице к моменту времени t. Например, если в момент времени t=0 число частиц равно 100000, а к концу первой микросекунды осталось 30000, то значение вероятности Вероятность частице в начальный момент времени уцелеть равна 1. Закон (1) для вероятности выглядит так
(3)
Это общепринятая форма записи закона распада. Из (3) следует P (0)=1. Уравнение, связывающее скорость изменения вероятности и саму вероятность уцелеть согласно (2) имеет вид:
(4)

Для прояснения понятия скорости взаимодействия восстановим логику вывода закона распада (3). Определим вероятность не распасться к моменту времени t. Разобьем интервал ( 0, t ) на N равных малых промежутков времени длительности Dt=t/N. Предположим, что вероятность распада D P в любой промежуток времени одна и та же при условии, что к началу промежутка частица еще не распалась. Очевидно, что эта вероятность должна быть пропорциональна величине промежутка, т.е.
D P =lDt, (5)
где l - характеристика темпа распада. Из уравнения (5) можно сделать вывод, что смысл параметра l - это вероятность распада в малый промежуток времени, отнесенная к этому промежутку, т.е. скорость распада. Размерность параметра [ l ]= с-1, то есть та же, что и частоты. За время Dt вероятность нераспада уменьшается до P 1=1-lDt. Для любого малого промежутка времени справедливо аналогичное соотношение: вероятность не распасться равна P k=1-lDt.

Повторим основы теории вероятности. Рассмотрим пример случайных событий, которые имеют счетное множество исходов. Допустим, имеется однородный кубик, пять граней которого окрашены белым цветом, а одна – черным. Это видоизмененная игральная кость.

Допустим, выбрасывается одна кость. Исходами эксперимента является выпадение либо белой, либо черной грани. В силу равновероятности выпадения любой из граней вероятность выпадения черной грани равна 1/6, а вероятность выпадения белой грани в пять раз больше, т.е. – 5/6.

Пусть теперь случайный эксперимент представляет собой одновременное выбрасывание двух костей. Возможных исходов эксперимента четыре: первая и вторая кости выпали черной гранью; первая черной, а вторая белой; первая белой, а вторая черной; обе кости выпали былыми гранями. Полное число способов выпадения, если все грани считать различными равно 6² = 36. Существует единственный из 36 способ выпадения обеими черными гранями. Значит, вероятность этого события равна 1/36. Выпадение первой кости черной, а второй белой может осуществиться пятью способами из 36. Значит, вероятность второго события равна 5/36. Выпадение первой кости белой, а второй черной также может осуществиться пятью способами из 36. Значит, вероятность третьего события равна 5/36. Выпадение обеих костей белыми гранями может осуществиться 25 способами из 36. Значит, вероятность четвертого события равна 25/36. Здесь можно провести полезное изменение способа рассмотрения исходов. Событие, заключающееся в некоторой раскладке костей, можно рассматривать как одновременное осуществление двух независимых событий: первое событие – выпадение некоторым образом первой кости, второе событие – выпадение некоторым образом второй кости. Вероятности одновременного осуществления обоих событий – 1/36, 5/36, 5/36, 25/36, –можно считать этапами выпадения той или иной пары, равны произведениям вероятностей: 1/36=(1/6)×(1/6), 5/36=(1/6)×(5/6), 5/36=(5/6)×(1/6), 25/36=(5/6)×(5/6).

Итог: вероятность совместного осуществления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей каждого из этих событий.

Вернемся к рассмотрению распада частицы. Каждый малый интервал времени Dt из всей последовательности, составляющей интервал (0, t), связан со случайным событием. Для каждого малого интервала возможно два исхода: в этом интервале распад происходит с вероятностью lDt (аналог черной грани кости);в этом интервале распад не происходит с вероятностью 1–lDt (аналог белых граней кости). Событие, заключающееся в том, что к моменту времени t частица не распадется, состоит в том, что распад не произойдет ни в один из малых промежутков времени. Оно представляет совместное осуществление N независимых событий – не распад в каждом из N малых интервалов. Вероятность этого события равна произведению N вероятностей:
(6)
Заметим, что Dt=t/n, поэтому уравнение (6) принимает вид:
(7)
Если сделать замену переменных (-n/lt ) =m, то
(8)
Нас, конечно, интересует значение правой части уравнения (8) при m® . Как ранее было установлено, (здесь e - основание натурального логарифма), поэтому уравнение (8) приобретает вид
(9)
Сравнивая (9) с выражением (3), можно сделать вывод, что скорость распада l связана со средним временем жизни соотношением
(10)
Это же следует из уравнения (4):
(11)

Уравнения (10) и (11) можно проиллюстрировать графически. Производная от P (t) в точке t=0 равна тангенсу угла наклона касательной к графику P (t). Уравнение касательной имеет вид
P= 1-lt. (12)
Касательная пересекает ось времени в точке t=1/l=t. Так что среднее время жизни равно времени, в течение которого при постоянной скорости распада вероятность нераспада обращалась бы в нуль. Скорость (или среднее время жизни) является единственной характеристикой процесса распада.

2.2 Связь скорости переходов с константами взаимодействия

Распад является результатом некоторого внутреннего процесса, протекающего внутри частицы. Скорость распада l определяется механизмом этого процесса. Для примера рассмотрим распад нейтрального каона: K0®p-+p+. Состояние в виде нераспавшегося каона и состояние в виде двух пионов являются начальным и конечным состояниями одной и той же физической системы. Распад представляет собой переход рассматриваемой физической системы из одного состояния в другое. Начальное и конечное состояния связаны между собой. Механизм распада связывает эти два состояния.

Поясним смысл понятия связи состояний с помощью классической модели. Два совершенно одинаковых математических маятника при отсутствии физической связи между ними колеблются совершенно независимо. Если привести в движение левый маятник, правый никак не будет откликаться. Если же между маятниками создать механическую связь - связать пружинкой, то при возбуждении колебаний левого маятника, правый также начнет раскачиваться. Движение левого маятника затухает до полной остановки, зато правый маятник будет при этом совершать колебания максимальной амплитуды. Система связанных маятников из состояния | колеблется левый маятник ñ переходит в состояние | колеблется правый маятник ñ (в квантовой механике состояния обозначают скобками | ñ). Можно говорить, что при отсутствии пружинки между маятниками состояния | колеблется левый маятник ñ и | колеблется правый маятник ñ не переходят друг в друга или - состояния несвязанны. При наличии пружинки между состояниями существует связь. Связь выражается в переходе системы из одного в другое состояние. Чем жестче пружинка, тем быстрее система маятников изменяет свое состояние.

В этом же смысле понимают связь состояний | K0 ñ и | p-p+ ñ.

Механизм связи определяет скорость перехода. Рассмотрим, чем определяется скорость перехода в системе связанных маятников. Как известно, колебание системы связанных осцилляторов представляет собой суперпозицию простых гармонических колебаний (мод). Движение системы в первой моде представляет собой колебания первого и второго маятников с одинаковыми амплитудами F01, происходящими в фазе: j1=j2. Движение системы во второй моде - колебания первого и второго маятников с одинаковыми амплитудами F02, происходящими в противофазе: j1=-j2. Каждая из мод имеет свою собственную частоту. Если колеблется только один из маятников, то это означает, что возбуждены обе моды. Движение представляет собой наложение простых синусоидальных колебаний (мод) с разными частотами. Скорость передачи колебаний от одного к другому маятнику определяется разностью частот мод. Рассмотрим это явление на примере решения задачи.

Задача 1. Длины связанных маятников, рассмотренных выше, равны L, массы грузов - m. Пружина имеет жесткость, равную k. В состоянии равновесия пружина связи недеформирована. Найдите собственные частоты мод. Полагая, что g/L>>k/m, найдите разность частот мод.

Если в начальном состоянии отклонение второго маятника равно нулю, а первого - максимально, то первая и вторая моды имеют одинаковые амплитуды F01=F02=F0. Отклонение первого маятника j1(t) представляет собой сумму отклонений первого маятника в первой и во второй моде, т.е., равно сумме отклонений мод:

j1(t)= F0cos w1t+F0cos w2t,
или
j1(t)=2F0cos(w2-w1)t/2 cos(w2+w1)t/2, (13)
где F0 - “амплитуда” мод, w1 и w2 - собственные частоты мод. При слабой связи частоты мод отличаются мало и w1»w2. Отклонение первого маятника выглядит как колебание с частотой (w2+w1)/2, модулированное медленным колебанием с частотой (w2-w1)/2. Частота модуляции - это частота перехода из состояния | колеблется левый маятник ñ в состояние | колеблется правый маятник ñ. Она определяется устройством колебательной системы. По сути, это не что иное, как скорость перехода. Выразим ее через физические параметры системы. Учтем, что
(14)
Скорость перехода , таким образом, равна
. (15)

В рассматриваемом примере для нас сейчас важно наблюдение: скорость перехода пропорциональна жесткости связывающей пружины, то есть величине физической связи. Чем сильнее связь, тем больше скоростьперехода. Отсутствие связи дает нулевую скорость перехода.

Проведенное выше рассмотрение годится как приложение к описанию взаимодействий различного типа. Изобразим упомянутый выше распад нейтрального каона в виде фейнмановской диаграммы. На этой диаграмме ось времени идет вертикально вверх. Стрелками изображаются изменения состояний. Если линию мгновенного сечения пересекает одна стрелка, то система находится в одночастичном состоянии, если две - то в двухчастичном состоянии (обозначения, заключенные в штриховые прямоугольники к фейнмановской диаграмме не имеют отношения). Физическая связь между состояниями на диаграмме изображается точкой, где линия каона разветвляется на две линии пионов. В данной ситуации физическое взаимодействие, обеспечивающее связь между состояниями, - это слабое взаимодействие. Поэтому говорят, что распад нейтрального каона является слабым распадом. Распады почти всех нестабильных частиц, указанных в приведенной ранее таблице, являются слабыми. Характерные значения времен жизни относительно этих распадов – 10-6¸10-14с.

Другой пример - распад нейтрального пиона на два фотона:
p0®g+g. (16)
Среднее время жизни относительно этого распада равно 0,83×10-16с. Это означает, что распад происходит гораздо быстрее, чем слабый распад. Механизм связи состояний ê p0 ñиê gg ñ должен быть более сильным.Как показали исследования, физическим взаимодействием, результатом которого является распад нейтрального пиона, является электромагнитное взаимодействие. Времена жизни относительно электромагнитных взаимодействий лежат в области 10-16¸10-20с.

Есть распады, связь между начальным и конечным состояниями в которых обеспечивается адронным взаимодействием. Например, распад
r -мезона. Среднее время жизни r -мезона равно 4,3×10-24с. Из-за того, что адронное взаимодействие является самым сильным, скорости распадов, связь в которых обеспечивается именно им, самые высокие. Характерные значения времен жизни относительно адронных распадов лежат в области 10-21¸10-24с.

Аналогия с механической моделью работает и для описания обменной модели взаимодействия. Рассмотренное выше взаимодействие нуклонов изображается четырехлучевой фейнмановской диаграммой. Двухчастичное состояние переходит в двухчастичное. Начальное состояние ÷ pn ñ после обмена виртуальным пионом переходит в состояние ÷ np ñ. Одно из этих состояний аналогично левому маятнику, а другое - правому. Обмен пионом обеспечивает связь. Если систему приготовить в чистом состоянии ÷ pn ñ, то будут происходить биения, аналогичные биениям в системе маятников.

Задача 2. Дейтрон оказался в чистом состоянии ÷ pn ñ. Имея в виду, что энергия связи дейтрона равна 2,2 МэВ, рассчитайте частоту переходов ÷ pn ñ « ÷ np ñ.

Решение. Предварительно опишем развитие аналогии. Как и у связанных маятников, равные смеси состояний ÷ pn ñ + ÷ np ñ и ÷ pn ñ-÷ np ñдолжны быть аналогичны модам колебаний маятников с определенными частотами, т.е. они должны быть состояниями с определенным значением энергии. По аналогии с механической моделью считаем, что колебание между состояниями ÷ pn ñи÷ np ñ является следствием наложения состояний с определенными значениями энергии. Далее предположим, что одно из состояний с определенным значением энергии - это основное состояние, а другое - несвязанное состояние, - тогда энергия связи равна разности энергий состояний, аналогичных модам. Таким образом,
ÿ W=Eсв ® W=Eсв/ÿ»2,27×10-22с-1. (17)
Это характерное значение скорости для адронного взаимодействия.

Задание. С помощью фейнмановских диаграмм изобразите электромагнитное взаимодействие электрона с электроном и слабое взаимодействие нейтрона с нейтрино, в результате которого получается протон и электрон.

2.3 Сечение взаимодействия

Рассмотрим еще один тип взаимодействий. Например, при неупругом рассеянии пионов на протонах могут рождаться лямбда-ноль частица и ка-ноль-мезон
p-+p®L0+K0. (18)
В данном взаимодействии состояние ÷ p-p ñ переходит в состояние ÷ L0K0 ñ. Эти состояния связаны. Связь определяет скорость перехода (вероятность перехода в единицу времени). Как правило, такого вида переходы описывают не скоростью, а так называемым сечением взаимодействия. Введение этой величины обусловлено способом проведения эксперимента. Пучок пионов фиксированной интенсивности I (число пионов, падающих на площадку единичной площади в единицу времени) падает на водородную мишень. Подсчитывается число случаев NLK в единицу времени рождения пар L0 и K0. Сечение взаимодействия равно отношению этого числа к интенсивности пучка:
(19)
Для придания образного смысла сечению взаимодействия с каждым протоном можно связать некоторый фиктивный диск, попав пионом в который, мы добиваемся рождения L0 и K0. Площадь этого диска равна сечению взаимодействия sLK.

Рассеяние всегда происходит не на одном, а на множестве центров рассеяния. В этой ситуации формула (19) определяет полное сечение на всех центрах, расположенных в створе пучка.

Задача 3. Плотность жидкой водородной мишени r. Как нужно изменить формулу (19), чтобы определить сечение рассеяния на одном протоне, если толщина водородной мишени h, а площадь сечения пучка S?

Сечение и скорость прямо пропорциональны друг другу. Чем больше константа связи, тем больше сечение взаимодействия. Наибольшие значения имеют сечения адронного взаимодействия. Следующие по порядку величины - электромагнитные. Наименьшие значения имеют сечения слабых процессов (например, рассеяние нейтрино на протонах). На схеме в логарифмическом масштабе показаны интервалы возможных значений сечений рассеяния.

Единицами измерения сечений являются м2, барн (б) (1 (б)=10-28м2) и фм2=10-30м2 (фм - ферми, или фемтометр, равный 10-15м).

2.4 Распад нейтрального каона (дополнительный материал)

Интересный эффект связан с распадом нейтрального каона. Нейтральный каон является странной частицей, его странность равна +1. Это обстоятельство делает невозможным такое адронное взаимодействие: нейтральный каон налетает на протон, и в результате никогда не получатся лямбда-ноль и пи-ноль. K0+p®L0+p+ невозможно, потому что лямбда-ноль имеет странность, равную - 1. Нейтральный каон имеет странность +1. Странность не сохраняется, что запрещает данное взаимодействие. Античастица нейтрального каона имеет странность -1, поэтому это совершенно другая частица и не совпадает с ка-ноль-мезоном. При адронном взаимодействии с протоном возможно превращение так как странность теперь сохраняется. Ка-ноль и анти-ка-ноль - две разные частицы. Однако несохранение странности в слабых распадах приводит к замечательному явлению. Оба каона могут слабо распадаться на два пиона:

Обратимся к идее виртуальных состояний. Допустим, имеется нейтральный каон, находящийся в нераспавшемся состоянии. Виртуально он может находиться в распадном состоянии. Так как виртуальный распад - это не совершившийся распад, каон может вернуться в исходное состояние ÷ K0 ñ ® ÷ p+p- ñ ® ÷ K0 ñ. Возможно виртуальное колебание состояния каона. Такое же колебание может испытывать анти-ка-ноль-мезон ÷ 0 ñ ® ÷ p+p- ñ ® ÷ 0 ñ. В квантовой механике справедлив закон, который говорит, “то, что произойдет с состоянием в последующие моменты времени, целиком определяется состоянием в данный момент времени, и не зависит от того, как система попала в данное состояние”. Нейтральный каон, находящийся в виртуальном состоянии, может с равным успехом оказаться и в состоянии анти-ка-ноль-мезона (см. фейнмановские диаграммы виртуальных распадов на рисунке 48). Этот вывод справедлив для обоих каонов. Из данных рассуждений следует, что состояния ÷ K0 ñ и ÷ 0 ñ связаны. Действительна аналогия с маятниками. Состояние ÷ K0 ñ аналогично состоянию | колеблется левый маятник ñ, а ÷ 0 ñ - состоянию | колеблется правый маятник ñ. Так как состояния связаны, должны наблюдаться биения. Каон должен превращаться в антикаон, и наоборот. Время превращения нейтрального каона в свою античастицу определяется величиной связи. Это явление теоретически предсказали Гел-Манн и Нишиджима. Они предложили экспериментаторам провести такой эксперимент. Пучок нейтральных каонов направить в длинную трубу, заполненную водородом в газовой фазе, чтобы каон мог пролетать большое расстояние без столкновений. При влете, поскольку он находится в чистом состоянии ÷ K0 ñ, при редких столкновениях с протонами ни в коем случае невозможны образования лямбда-ноль. Но через некоторое время, равное половине периода биений, пролетев соответствующее расстояние, нейтральный каон превращается в свою античастицу, и при столкновениях теперь возможно образование лямбда-ноль. Постановка эксперимента подтвердила это предсказание.