Логарифмическая производная

Вычислим . Для этого вычислим двумя способами

и

.

Таким образом, получим важную формулу

.

Пример 1. Вычислим .

Здесь , . Отсюда

Пример 2.

Решение. Имеем , откуда ;

Пример 3.

Решение Здесь основание и показатель степени зависят от . Логарифмируя, получим . Продифференцируем обе части последнего равенства по . Так как является функцией от , то есть сложная функция и . Следовательно, , , т.е.

Производная параметрической функции

Если функция задана параметрическими уравнениями , , то

или .

Пример 1. Вычислите производную

Решение. .

Пример 2. Найти , если ,

Решение. Найдём , . Следовательно

Приложения производной к задачам геометрии и механики.

Если кривая задана уравнением , то , где - угол, образованный с положительным направлением оси касательно к кривой в точке с абсциссой .Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид

где есть значение производной при . Нормалью к кривой называется прямая, перпендикулярная касательной, проходящая через точку касания. Уравнение нормали имеет вид:

Углом между двумя кривыми и в точке их пересечения называется угол между касательными к этим кривым в точке . Этот угол находиться по формуле:

Если при прямолинейном движении точки задан закон движения , то скорость движения в момент есть производная пути во времени:

Пример 1. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к кривой проведённая в точке ?

Решение. Находим производную при имеем т.е. откуда .