Приемы вычисления пределов

Одна из важнейших задач теории пределов - отыскание предела функции.

Пример 1. Пусть дана функция f(x) = (4x²-1)/(2x-1).

Она определена во всех точках, кроме x = 1/2, т.к. в этой точке (при x = 1/2) знаменатель дроби

2x-1 = 2*1/2-1 = 1-1 = 0 при x=1/2

Возьмем x=6. Тогда f(6) = (4*6²-1)/(143/11) = 13

Т.е. по мере приближения к x=6 числитель (4x²-1) стремится к 143, а знаменатель (2x-1) - к 11. Вся дробь стремится к 13. Т.е. число 13 (равное значению функции при x=6) есть вместе с тем предел функции при x → 6:

Можно рассмотреть ту же функцию f(x) = (4x²-1)/(2x-1), но при x=1/2. Функция f(x) здесь неопределенна, т.е. формула дает неопределенное выражение 0/0. Но предел функции при x → 1/2 существует и равен 2:

Этот предел можно вычислить так: увидев, что числитель дроби можно разложить по одной из формул сокращенного умножения: a²-b² = (a-b)(a+b), применим эту формулу. Здесь: a=2x, b=1. Сокращаем дробь на общий сомножитель в числителе и знаменателе, в результате чего под знаком предела получается простая алгебраическую сумму (2х+1), в которую можно подставить в качестве значения независимой переменной x=1/2. Искомый предел вычислен.

Строка (*) является решением задачи отыскания предела данной функции f(x) = (4x²-1)/(2x-1) при x=1/2.

Пример 2. Найдем предел функции f(x) = (x⁴- 12x²+16)/(x²-4) при x→∞. Применим формулу сокращенного умножения и сократим дробь (как в примере 1):

Бесконечность, возведенная в квадрат, все равно остается бесконечностью. И если от бесконечности отнять некоторое, конечное число, то все равно снова получим бесконечность. Т.е.:

Пример 3. Найти предел функции f(x)=(3x²+2x)/(x²-x-6) при x → ∞. Здесь возникает неопределенность вида ∞/∞: если подставить в качестве значений х=∞, то бесконечности возникнут и в числители и в знаменатели дроби. Поэтому для решения данного примера применяют специфический прием: в числителе и знаменатели выносят за скобку как общий множитель старшую степень и сокращают дробь:

Из основных теорем о пределах и рассуждения из предыдущих примеров, получим: любое конечное число, деленное на бесконечность, является бесконечно малой величиной, т.е. ее предел равен нулю -