Физический и Геометрический смысл производной

1) физический смысл производной.

Пусть дана некоторая линейная функция y = f(x) = ax+b.

Если независимая переменная получает приращение ∆x, то сама функция получает приращение ∆y = a*∆x

∆y = f(x+∆x) - f(x) = [a*(x+∆x)+b] - [ax+b] = a*(x+∆x)+b-ax+b = a*(x+∆x) - ax = ax + a*∆x - ax = a*∆x

Отношение ∆y/∆x = a*∆x/∆x = a остается постоянным, не зависящим ни от того, при каком х функция рассматривается, ни от того, какое взято ∆x. Это отношение называется скоростью изменения линейной функции.

Но если функция y = f(x) не линейная, то отношение [f(x+∆x) - f(x)]/∆x зависит и от х, и от ∆x. Скоростью изменения функции в данной точке х называется предел средней скорости изменения в интервале (x, x+∆x) при стремлении ∆x к нулю:

В этом и состоит физический смысл производной - она есть скорость изменения функции (в качестве иллюстрации можно использовать рис. из ответа 28).

2) Геометрический смысл производной.

Производная y' функции y=f(x) имеет простой геометрический смысл, который связан с понятием касательной к линии графика функции.

Касательной M₀T к линии АВ (рис.) называется предельное положение прямой, проходящей через точку M₀и другую точку М линии, когда эта точка М стремится слиться с данной точкой M₀.

Геометрический смысл производнойсостоит в том, что значение производной f'(x₀) равно угловому коэффициенту касательной к графикуфункции y=f(x)в точке с абсциссой х₀ (рис.).