Определение производной

Пусть некоторая величина u изменяется от своего начального значения u₁ к другому - конечному значению u₂. Разность между конечным и начальным значениями величины называется ее приращением и обозначается ∆u.

Дадим аргументу функции y=f(x) приращение ∆x. Тогда его значение изменится на величину данного приращения и будет равно x + ∆x. Т.к. значение аргумента изменилось, то изменится и значение функции - f(x +∆x).

Следовательно, можно найти соответствующее приращение функции Производной данной функции называется предел разностного отношения приращения функции к приращению аргумента при произвольном стремлении этого приращения к нулю (рис.):

Значение производной функции в какой-либо точке х₀ обозначается: f '(x₀).

Пример: Найдем производную функции y = 2x²

Дадим приращение аргумента ∆x.

1. Найдем соответствующее приращение функции: ∆y = f(x+∆x) - f(x) = 2(x+∆x)² - 2x² = 2(x²+2x+∆x²) - 2x² = 2x²+4x+2(∆x)² - 2x² = 4x+2(∆x)²

2. Устремим приращение аргумента к нулю и найдем предел разностного отношения:

Таким образом, y' = (2x²)' = 4x.