Операции над множествами и их свойства

1 2

План лекции:

1) Пересечение множеств.

2) Объединение множеств.

3) Разность множеств.

4) Симметрическая разность.

5) Дополнение множеств.

6) Декартово (прямое) произведение двух множеств.

1. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно.

Пересечение множеств А и В обозначают: А Ç В.

А Ç В = {х| хÎА и хÎВ}

Если представить множества А и Впри помощи кругов Эйлера, то пересечение данных множеств изобразится заштрихованной областью (рис. 1).

В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что их пересечение пусто и пишут: А Ç В = Æ.

А Ç Æ = Æ.

Если ВÌ А, то А Ç В = В.

Операция, при помощи которой находят пересечение множеств, называется также пересечением.

Пример.

1) А ={1, 2, 3, 4, 5}; В = {4, 5, 6, 7}

А Ç В = {4, 5}

2) Пересечением множества прямоугольников и множества ромбов является множество квадратов.

3) Пересечением множества чётных чисел и множества нечётных чисел пусто.

2. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.

Объединение множеств А и В обозначают: А È В.

А È В = {х| хÎА или хÎВ}

Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то объединение данных множеств изобразится заштрихованной областью (рис. 2).

Если ВÌ А, то А È В = А.

А È Æ = А.

Операция, при помощи которой находят объединение множеств, называется также объединением.

Пример.

1) А = {1, 2, 3, 4, 5}; В = {4, 5, 6, 7}

А È В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

2) Объединение множества положительных чётных чисел и множества положительных нечётных чисел является множество натуральных чисел.

Если в выражении есть Ç и È множеств, но нет скобок, то сначала выполняют Ç.

Операции пересечения и объединения множеств обладают свойствами:

1° Коммутативность пересечения

"А, В А Ç В = В Ç А

2° Коммутативность объединения

"А, В А È В = В È А

3º Ассоциативность пересечения

"А, В, С (А Ç В) Ç С = А Ç (В Ç С)

4º Ассоциативность объединения

"А, В, С (А È В) È С = А È (В È С)

5º Пересечение дистрибутивно относительно объединения

"А, В, С А Ç (В È С) = (А Ç В) È (А Ç С)

6º Объединение дистрибутивно относительно пересечения

"А, В, С А È (В Ç С) = (А È В) Ç (А È С)

7º "А А Ç А = А

8º "А А È А = А

Доказательство:

Справедливость каждого из этих утверждений можно проверить, показав, что множество, стоящее по одну сторону от знака равенства, включено в множество, стоящее по другую сторону от этого знака.

Например, докажем свойство 6º.

а) Докажем, что А È (В Ç С) Ì (А È В) Ç (А È С).

Пусть х Î А È (В Ç С). Тогда х Î А или х Î (В Ç С).

Если х Î А, то х Î А È В и х Î А È С, а, следовательно, х Î (А È В) Ç (А È С).

Если х Î (В Ç С), то х Î В и х Î С. Следовательно, х Î А È В и х Î А È С, т.е. и в этом случае х Î (А È В) Ç (А È С).

б) Докажем, что (А È В) Ç (А È С) Ì А È (В Ç С).

Пусть х Î (А È В) Ç (А È С). Тогда х Î А È В и х Î А È С.

То есть, (х Î А или х Î В) и (х Î А или х Î С).

Значит, х Î А или (х Î В и х Î С), т.е. х Î А È (В Ç С).

Проиллюстрируем свойство 6º на диаграммах Эйлера–Венна.

3. Разностью множеств А и В называется множество, элементы которого принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Обозначают А \ В; А – В.

А \ В = { х| хÎА и хÏВ }

Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то разность данных множеств изобразится заштрихованной областью (рис. 3).

Операция, при помощи которой находят разность множеств, называется вычитанием.

Пример.

1) А = {1, 2, 3, 4, 5}; В = {4, 5, 6, 7}

А \ В = {1, 2, 3}

2) Разностью множества чётных чисел и множества целых чисел является пустое множество.

4. Симметрической разностью множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих только множеству А или только множеству В.

Симметрическую разность множеств А и В обозначают: А х В; А – В.

А х В = { х| хÎА, хÏВ или хÏА, хÎВ}

Если представить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то симметрическая разность данных множеств изобразится заштрихованной областью (рис. 4).

А х В = (А \ В) È (В\ А)

А х В = (А È В) \ (А Ç В)

5. Универсальным множеством U (основным множеством) называется множество, для которого все множества, рассматриваемые в данный момент, являются подмножествами.

Универсальное множество часто изображают прямоугольником.

Например, для N универсальным считается множество Z.