Силы инерции колеблющейся плоскости, их уравновешивание и компенсация

На рис. 20 показан кривошипно-шатунный механизм с ползуном, используемый и для привода колеблющейся плоскости. Известна фор­мула для расчета ускорения ползуна

. (V-24)

где — радиус кривошипа; - угловая скорость кривошипа; - угол поворота кривошипа от начального положения (см, рис. 20).

,

где - длина шатуна.

Сила инерции, действующая на колеблющуюся плоскость, массой равна или

. (V-25)

Эту силу инерции можно представить в виде двух сил:

(V-26)

Сила называется силой инерции первого порядка, сила - силой инерции второго порядка, так как частота ее изменения вдвое превосходит частоту изменения силы инер­ции первого порядка. Максимальное значение силы инерции второго порядка составляет не более чем максимального значения силы инер­ции первого порядка, потому что .

Силы инерции, приложенные к ползуну, т. е. к колеблющейся плос­кости, передаются через кинематические пары, шатун, кривошип на станину машины, далее на фундамент и здание. Чтобы уменьшить дейст­вие инерционных сил на станину машины, а также на фундамент и зда­ние, уравновешивают инерционные силы.

Начнем с уравновешивания вращающихся масс. На рис. 21 дан кривошип с частью шатуна. Массы в контуре уравновешены отно­сительно оси вала. Массы за пределами контура не уравновешены: это массы верхней части щеки, стержня, части шатуна. Неуравновешенные массы кривошипа приводят к одной массе, лежащей на расстоянии от оси вращения кривошипа; для приведения используют формулу

(V-27)

Для вычисления всех вращающихся, но неуравновешенных масс следует учесть и массу шатуна. Так как шатуны пищевых машин имеют форму параллелепипеда, то массу шатуна М следует разделить на две равные части: при расчетах одна присоединяется к ползуну, другая — к кривошипу.

Итак, масса неуравновешенных вращающихся частей

. (V-28)

На массу при вращении действует центробежная сила

, (V-29)

направление которой зависит от положения кривошипа. Эта сила не уравновешена и буквально "дергает во все стороны" опорный подшип­ник. Чтобы уравновесить эту силу, необходимо на продолжении криво­шипа закрепить противовес массой . Если центр массы противовеса находится на расстоянии от оси вращения кривошипа, то на противо­вес будет действовать сила

(V-30)

Чтобы на ось кривошипа (точку 0) не действовала сила, надо, чтобы , тогда

(V-31)

откуда

(V-32)

Размещение противовеса показано на рис. 21 пунктиром (деталь 6).

Итак, определив и , уравновешиваем вращающиеся части кривошипа.

Перейдем к уравновешиванию сил инерции, возникающих от воз­вратно-поступательного движения ползуна — колеблющейся плоскости. На рис. 20 показан кривошипно-шатунный механизм с инерционной си­лой , действующей на ползун. Сила инерции может быть разложена на силы инерции первого и второго порядков. Сила инерции первого по­рядка, у которой частота изменения равна частоте вращения ведущего вала, вычисляется по формуле

(V-33)

где .

Эта сила, передаваясь через стержни и кинематические пары, дейст­вует на опорный подшипник. Для ее уравновешивания надо применить второй противовес, масса которого, например, равна , и ее центр масс находится на расстоянии от оси вращения кривошипа. Центро­бежная сила, действующая на противовес, будет равна

(V-34)

Разложим эту силу на вертикальную и горизонтальную составля­ющие:

(V-35)

Конструктор всегда может так подобрать массу и расстояние , что удастся получить равенство , тогда

(V-36)

отсюда

(V-37)

Учитывая равенство (V - 36), необходимо сделать вывод, что в гори­зонтальном направлении силы на станину (опорный подшипник) не дей­ствуют.

Однако существует вертикальная составляющая центробежной силы (V - 35), которую ничто не уравновешивает, и при угле поворота кри­вошипа = 90° она получает максимальное значение

(V-38)

равное максимальному значению силы инерции ползуна первого поряд­ка. Таким образом, полное уравновешивание силы инерции ползуна первого порядка приводит к появлению новой вертикальной силы, ко­торая действует на станину с той же силой, что и неуравновешенная сила инерции ползуна.

Поэтому при уравновешивании однокривошипного механизма при­меняют частичное уравновешивание. Массу противовеса, например, оп­ределяют из следующего равенства [сопоставить с равенством (V - 36)]:

(V-39)

В этом случае вредное воздействие сил инерции на станину машины уменьшается в 2 раза, правда, при этом появляется вертикальная перио­дическая сила, равная половине силы инерции первого порядка.

Таким образом, уравновешивая вращающиеся массы, определили массу противовеса [формула (V - 32)], а также, уравновешивая массы ползуна, вычислили . При конструировании механизма обе массы объединяют в одной детали-противовесе, и его масса

(V - 40)

Из вышеизложенного следует, что полного уравновешивания одно-кривошипного механизма достичь невозможно. Поэтому применяют двух-кривошипную схему с оппозитно движущимися ползунами (рис. 22), так называемый самоуравновешенный механизм. Схема показывает, что от одного вала приводятся в движение два механизма ОАВ и OCD. При равных размерах и массах звеньев силы инерции равны, и резуль­тат их воздействия на опорный подшипник, помещенный в точке О, равен нулю.

Компенсация сил инерции колеблющейся плоскости пружинами служит для разгрузки всех кинематических пар, шатуна и кривошипа от вредного воздействия сил инерции ползуна. Сила инерции ползуна вынуждает конструктора увеличить сечения звеньев механизма. Из-за этой силы инерции появляются повышенные давления в подшипниках, расположенных в местах кинематических пар. В результате увеличи­вается трение и повышается расход энергии.

Для того чтобы разгрузить детали от вредного действия силы , устанавливают компенсационные пружины. При малых значениях инер­ционной силы вместо пружин можно поставить резиновые жгуты. Схе­ма установки компенсационных пружин показана на рис. 23.

Жесткость одной компенсационной пружины

(V - 41)

где - масса колеблющейся плоскости, z - число компенсационных пружин; оно всегда четное.

Часто для компенсации сил инерции колеблющейся плоскости ис­пользуют рессоры. Рессорой называется пластина, предназначенная для подвешивания узла машины, в частности колеблющейся, плоскости. Один конец рессоры консольно закрепляется на станине, другой - шарнирно связывается с колеблющейся плоскостью.

Если разъединить шарнир В, плоскость с пружинами станет сво­бодной. На рис. 23 плоскость изображена в нейтральном положении. Если вывести плоскость из нейтрального положения, т. е. сместить ее на расстояние x и освободить, она под действием пружин перейдет в дви­жение и станет колебаться. Определим частоту собственных колебаний плоскости.

Для решения этой задачи составим дифференциальное уравнение и примем начальные условия, которые удобно привязать к нейтраль­ному положению; тогда при смещение плоскости х = 0, а ее ско­рость будет максимальной . Величина максимальной скорости при движении плоскости в составе механизма не может быть выше , значит, при .

Составим дифференциальное уравнение движения плоскости на ос­новании второго закона механики:

,

где - масса плоскости; — ускорение плоскости; - сумма всех сил, при­ложенных к плоскости.

На плоскость при движении действуют силы упругости пружин , силы трения, пропорциональные скорости движения . Поэтому

(V - 42)

Это уравнение второго порядка. В условиях нашей задачи можно пренебречь сопротивлениями, тогда уравнение примет вид

(V - 43)

Все члены уравнения надо перенести в левую сторону а коэффи­циент при первом члене привести к единице, тогда

. (V - 44)

Чтобы решить дифференциальное уравнение, составим характерис­тическое уравнение

(V - 45)

Для удобства решения характеристического уравнения обозначим

(V - 46)

Тогда и корни уравнения (V - 45) будут равны

(V – 47)

или

(V – 48)

Значит, общее решение уравнения (V - 44) будет таким:

(V – 49)

где и - постоянные интегрирования, которые надо определять по начальным условиям.

Мы уже знаем, что при ; подстановка этих значений в (V -49) дает .

Далее при . Дифференцируем общее решение (V - 49) и получаем

Подставив начальные условия, получим

.

Найденные значения постоянных интегрирования и подставля­ем в уравнение (V - 45) и получаем частное (окончательное) решение дифференциального уравнения движения свободной колеблющейся плоскости:

. (V - 50)

Видно, что колебания гармонические. Если (в с) - период коле­баний, то через плоскость возвратится в то же самое положение. Сле­довательно,

отсюда и с учетом (V - 46) получаем

(V - 51)

Частоту - величину, обратную периоду, для собственных колеба­ний плоскости - вычисляют по формуле

(V - 52)

Таким образом, частота собственных колебаний колеблющейся плос­кости возрастает с увеличением жесткости пружины и с уменьшением массы колеблющейся плоскости. Если частота собственных колебаний плоскости равна частоте вращения кривошипа , от которого приво­дится колеблющаяся плоскость, наступает резонанс. Чтобы избежать резонанса, необходимо изменить частоту собственных колебаний плос­кости. Для этого следует изменить жесткость пружин или массу плос­кости. Необходимо,чтобы или .