Согласно третьему постулату метрологии из-за наличия случайных погрешностей результат измерения рассматривается как случайная величина.
Случайной называют величину, которая в результате опыта принимает значение заранее неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
В метрологии в ходе проведения измерений основное внимание уделяется закономерностям тех случайных явлений, которые обладают относительной устойчивостью некоторых свойств в их массовом проявлении. Такие случайные явления в массовом их проявлении в обыденной жизни встречаются довольно часто. Например, процент рождения мальчиков по отношению к общему числу рождения детей сохраняется довольно устойчиво (51,5%). Устойчивы также средние значения таких случайных явлений, как рост людей, месячная температура в определенных районах и т.п.
Явления, рассматриваемые в теории вероятностей, называются событиями. Проведение отдельного наблюдения, опыта или измерения называют испытанием. Его результат называют также событием. События принято обозначать первыми прописными буквами латинского алфавита: А, В, С…
|
|
Примеры событий: а) появление при измерении положительной случайной погрешности; б) «появление герба», «появление цифры» при бросании монеты.
Событие называют случайным (возможным), если в результате данного испытания оно может произойти, а может и не произойти Примеры случайных событий: величина и знак случайной погрешности результата измерения какой-либо величины; выигрыш в Спортлото, попадание в цель при выстреле.
При большом числе испытаний, производимых в одинаковых условиях, обнаруживаются вполне устойчивые закономерности, что является основой при применении методов теории вероятностей и математической статистики к обработке массовых наблюдений.
Случайное событие может появиться в результате испытаний, которые могут быть повторены любое число раз при одних и тех же условиях. Такое событие называется массовым. Оно может быть охарактеризовано числом, подсчитав его частость или относительную частоту, выражающуюся отношением числа появлений этого события к числу всех произведенных испытаний, =m/n. Например, произведено 20 измерений одной и той же величины, при этом положительных погрешностей оказалось 6. Следовательно, m=6, n =20, относительная частота появления положительной погрешности 6/20 = 0,3 или 30%.
Относительная частота (частость) подсчитывается после опыта и выражается или дробью или в процентах.
Изучение массовых случайных событий показало, что при определенных условиях некоторые из них происходят с тем более постоянной устойчивой частостью, чем больше число испытаний. Появлением этих закономерностей является свойство устойчивости относительной частоты однородных случайных событий, т. е. уменьшение разброса ее значений, получаемых в равных сериях испытаний, при увеличении числа испытаний в каждой серии
|
|
Выполнив большую серию испытаний, можно с высокой точностью предсказать результат других таких же серий испытаний.
Английский ученый К. Пирсон, определяя относительную частоту появления герба при бросании монеты 12000 и 24000 раз, получил значения этой частоты соответственно 0,5016 и 0,5005. Нетрудно предсказать, что частость должна составлять значение, равное 0,5.
При большом числе испытаний п относительная частота обнаруживает устойчивость, которая характеризует объективную связь между комплексом условий, в которых производится опыт, и событием.
С увеличением числа испытаний п в сериях колебания значений в разных сериях уменьшается, т. е. существует определенное значение относительной частоты, от которого она отклоняется в разных сериях испытаний в ту и другую сторону. Этой постоянной величиной является количественная мера степени объективной возможности появления события при одном опыте, называемая вероятностью события (р).
Вероятность р события А можно определить как отношение числа m случаев, благоприятствующих появлению события А, к числу п всех возможных случаев; при этом случаи предполагаются равновозможными, несовместными и единственно возможными.
. (2.1)
Иногда
. (2.2)
Из определения следует, что вероятность любого события А заключена между нулем и единицей
. (2.3)
Свойство относительной частоты – устойчивость. Впервые ее отразил
Я. Бернулли в виде теоремы. При числе испытаний п неограниченно большом с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, относительная частота m/n события сколь угодно мало отличается от его вероятности в отдельном опыте.
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины, заданный в виде таблицы, называют рядом распределения. Для удобства восприятия ряда распределения строят графики. Для этого строят точки с координатами (xi, pi), а затем соединяют их отрезками. Полученная фигура называется многоугольником распределения или полигоном частот (рисунок 2.1).
Рисунок 2.1 – Полигон частот и функция плотности распределения
Аналитически закон распределения задают обычно в виде функции и называют функцией распределения, которая является универсальной характеристикой случайной величины и существует для всех случайных величин – дискретных и непрерывных.
Функции распределения вероятности для дискретных и непрерывных (аналоговых) величин имеют вид, показанный на рисунке 2.
а) б)
Рисунок 2 – Функции распределения вероятности случайных величин:
а) дискретной б) непрерывной
Наибольшее значение эмпирической функции распределения вероятности равно вероятности достоверного события, т.е. 1. Теоретическая функция распределения вероятности асимптотически приближается к единице.