Понятие производной

РАЗДЕЛ 1. Дифференциальное исчисление

Лекция 5. Производная и дифференциал

Понятие производной

Рассмотрим график непрерывной функции у = f (x). Возьмем на этом графике точку М ₀(x ₀, у ₀). Определим тангенс угла наклона касательной прямой к графику у = f (х), проведенной в точке М ₀ (рис.1).

Рис. 1

Точка М ₀ имеет координаты х ₀, у ₀= f (х ₀). Дадим переменной х приращение D x и переместимся по графику из точки М ₀ в точку М с координатами:абсциссой х ₀ + D х, ординатой у ₀ + D y = f (х ₀ + D х). При перемещении из точки М ₀ в точку M значение функции изменилось на величину D у. Это изменение называется приращением функции и вычисляется так:

D y = y – y ₀ = f (x ₀+D x) – f (x ₀).

Проведем секущую прямую М ₀ М. Тангенс угла наклона к оси ОХ (угловой коэффициент) секущей может быть найден из прямоугольного треугольника М ₀ МN как отношение противолежащего катета | MN | к прилежащему | M ₀ N |:

.

Когда точка М вдоль кривой будет перемещаться к точке M ₀, секущая М ₀ М будет вращаться вокруг точки M ₀ и неограниченно приближаться к некоторой прямой М ₀ К с углом наклона a (М ₀ М ® М ₀ К).Это предельное положение секущей является касательной к графику у = f (х) в точке М ₀.

В этом случае неограниченно уменьшаются приращение аргумента D х (D х ®0) и приращение функции D у ®0 (наша функция непрерывна).

Угол b наклона секущей к положительному направлению оси OX превратится в угол наклона касательной a. Тогда угловой коэффициент касательной прямой k получим так:

,

т.е. угловой коэффициент касательной есть предел отношения приращения функции D у к приращению аргумента D х при стремлении D х к нулю.

Определение 1. Производной функции у = f (х) в точке х ₀ называется предел отношения приращения функции D у = f (х ₀+D х) – f (x ₀) к приращению аргумента D х при стремлении D х к нулю, если такой предел существует.

.

Другие обозначения производной функции в точке х ₀:

у' (х ₀), .

Нахождение производной функции называется дифференцированием функции.

Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Определение 2. Функция f (х) имеет производную на интервале (a, b), если производная f '(х ₀) существует в каждой точке х ₀ этого интервала.

Учитывая это, в дальнейшем иногда будем опускать индекс «0» у величины х ₀ и записывать производную так: f' (х).

Производную функции f (х) можно вычислять при различных значениях х (не только в точке х ₀), т.е. величина производной зависит от значения аргумента х. Поэтому, если функция f (х) имеет производную в каждой точке множества X, то производная f' (x) также является функцией от аргумента х, определенной на множестве Х.