Механический, физический и экономический смысл производной

Механический смысл производной: скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t ₀ есть производная от пути по времени:

.

Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении. Обозначим S – путь, пройденный точкой, а t – время. Путь, пройденный точкой за время t, зависит от t и изменяется по некоторому закону S = S (t). Поставим задачу определить скорость материальной точки V ₀ в некоторый момент времени t ₀. Для этого рассмотрим другой момент времени по прошествии отрезка D t, т.е. момент t ₀+D t. К моменту t ₀ пройденный точкой путь составит S (t ₀); к моменту t ₀+D t точка пройдет путь S (t ₀+D t). За промежуток времени D t точка прошла путь D S = S (t ₀+D t) – S(t ₀). Средняя скорость движения за время D t составит отношение . Эта средняя скорость отличается от мгновенной скорости в момент t ₀, и величина V _cp тем ближе к скорости V ₀, чем меньше промежуток D t. Устремим D t к нулю (D t ®0). Тогда предел, к которому стремится средняя скорость, является скоростью точки V ₀ в момент t ₀:

Здесь рассматривается предел отношения приращения пути D S к приращению времени D t.

Физический смысл производной: Обобщая предыдущий закон V = S '(t), можно сказать, что если функция у = f (t) описывает физический процесс, меняющийся со временем t, то производная у' = f '(t ₀) есть скорость протекания этого процесса в момент t ₀.

Экономический смысл производной.

Производительность труда в момент t ₀ – предельное значение средней производительности за период времени от t ₀ до t ₀ + Δ t при Δ t ® 0, т. е.

Здесь Δ Q – количество произведенной продукции за интервал времени Δ t. Производительность труда u – скорость роста объема продукции Q.

Предельный продукт. Пусть функция Q (x) – зависимость количества произведенной продукции от величины затрат ресурса х. Отношение – средняя величина продукта, соответствующая величине затрат в размере Δ х. Предельный (маржинальный) продукт при затратах ресурса х ₀: