Матрицы

Матрицей размера называется система чисел, расположенных в прямоугольной таблице из т строк и столбцов:

.

Элемент матрицы, стоящий на пересечении ой строки и ого столбца, будем обозначать . Тогда .

Частные случаи матриц.

1. Если , матрица называется квадратной и го порядка.

2. Если , матрица называется прямоугольной.

3. Если все , матрица называется нулевой.

4. Квадратная матрица называется диагональной.

5. Диагональная матрица вида называется единичной.

Каждой квадратной матрице соответствует определитель, составленный из элементов этой матрицы.

Две матрицы и называются равными, если они имеют одинаковую размерность и равны их соответствующие элементы:

.

Суммой двух матриц и одного размера называется матрица такого же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов слагаемых матриц:

.

Произведением матрицы на число называется матрица того же размера, все элементы которой равны произведению соответствующих элементов матрицы на число :

.

Свойства операций:

,	,
,	,
	(матрица).

Две матрицы и можно умножить друг на друга тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы, стоящей первым множителем, равно числу строк матрицы, стоящей вторым множителем.

Произведением матрицы на матрицу называется матрица , имеющая строк и столбцов, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов ой строки матрицы на соответствующие элементы ого столбца матрицы :

.

Свойства операций:

,	,
,	.

Ранг матрицы это наивысший порядок отличного от нуля минора, который можно построить из элементов данной матрицы.

Ясно, что если матрица имеет размер , то .

Если , то матрица называется неособой, в противном случае матрица называется особой или вырожденной.

Квадратная матрица порядка будет невырожденной, если её определитель отличен от нуля.

Пусть квадратная невырожденная матрица порядка .

Обратной для матрицы называется матрица порядка , для которой

.

Заметим, что , поэтому матрицы и называются взаимообратными.

Для невырожденной матрицы обратная матрица будет иметь вид:

. (4)