Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.
Определение 14.9 Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей, если , и невырожденной или неособенной матрицей, если .
Предложение 14.21 Если обратная матрица существует, то она единственна.
Доказательство. Пусть две матрицы и являются обратными для матрицы . Тогда
и
Следовательно, .
Предложение 14.22 Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и
(14.14) |
где - алгебраические дополнения к элементам .
Доказательство. Так как для невырожденной матрицы правая часть равенства (14.14) всегда существует, то достаточно показать, что эта правая часть является обратной матрицей для матрицы . Обозначим правую часть равенства (14.14) буквой . Тогда нужно проверить, что и что . Докажем первое из этих равенств, второе доказывается аналогично.
Пусть . Найдем элементы матрицы , учитывая, что :
Если , то по предложению 14.17 сумма справа равна нулю, то есть при .
Если , то
Сумма справа представляет собой разложение определителя матрицы по -ой строке (предложение 14.16). Таким образом,
Итак, в матрице диагональные элементы равны 1, а остальные равны нулю, то есть .
Результаты предложений 14.20, 14.21, 14.22 соберем в одну теорему.
Теорема 14.1 Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица - невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (14.14).
Замечание 14.12 Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца, а второй - номер строки, в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.
Пример 14.7 Найдите обратную матрицу для матрицы .
Решение. Находим определитель
Так как , то матрица - невырожденная, и обратная для нее существует.
Находим алгебраические дополнения:
Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй - строке:
(14.15) |
Полученная матрица и служит ответом к задаче.
Замечание 14.13 В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так:
(14.16) |
Однако запись (14.15) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде (14.15) предпочтительнее, если элементы матриц - целые числа. И наоборот, если элементы матрицы - десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя впереди.
Замечание 14.14 При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.
Пример 14.8 Найдите обратную матрицу для матрицы .