2015-01-30
12361
Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.
Определение 14.9 Квадратную матрицу 
назовем вырожденной или особенной матрицей, если 
, и невырожденной или неособенной матрицей, если 
.
Предложение 14.21 Если обратная матрица существует, то она единственна.
Доказательство. Пусть две матрицы 
и 
являются обратными для матрицы . Тогда
и 
Следовательно, 
.
Предложение 14.22 Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и
 | (14.14) |
где 
- алгебраические дополнения к элементам 
.
Доказательство. Так как для невырожденной матрицы правая часть равенства (14.14) всегда существует, то достаточно показать, что эта правая часть является обратной матрицей для матрицы . Обозначим правую часть равенства (14.14) буквой . Тогда нужно проверить, что 
и что 
. Докажем первое из этих равенств, второе доказывается аналогично.
Пусть 
. Найдем элементы матрицы , учитывая, что 
:
Если 
, то по предложению 14.17 сумма справа равна нулю, то есть 
при .
Если 
, то
Сумма справа представляет собой разложение определителя матрицы по 
-ой строке (предложение 14.16). Таким образом,
Итак, в матрице диагональные элементы равны 1, а остальные равны нулю, то есть 
.
Результаты предложений 14.20, 14.21, 14.22 соберем в одну теорему.
Теорема 14.1 Обратная матрица для квадратной матрицы существует тогда и только тогда, когда матрица - невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (14.14).
Замечание 14.12 Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца, а второй - номер строки, в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.
Пример 14.7 Найдите обратную матрицу для матрицы 
.
Решение. Находим определитель
Так как , то матрица - невырожденная, и обратная для нее существует.
Находим алгебраические дополнения:
Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй - строке:
 | (14.15) |
Полученная матрица и служит ответом к задаче.
Замечание 14.13 В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так:
 | (14.16) |
Однако запись (14.15) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде (14.15) предпочтительнее, если элементы матриц - целые числа. И наоборот, если элементы матрицы - десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя 
впереди.
Замечание 14.14 При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.
Пример 14.8 Найдите обратную матрицу для матрицы 
.
