Метод Гаусса

Решение систем линейных уравнений с помощью определителей удобно производить для систем двух или трёх уравнений. В случае же систем большего числа уравнений удобнее пользоваться методом Гаусса, который заключается в последовательном исключении неизвестных.

Пусть задана система линейных уравнений с неизвестными:

Обозначим матрицу системы, расширенную матрицу системы:

, .

Умножение какого-либо уравнения системы на число и прибавление к другому уравнению не меняет системы. Используя этот факт, преобразуем расширенную матрицу системы к следующему виду: в первом столбце все элементы, начиная со второго равны нулю; во втором столбце все элементы, начиная с третьего равны нулю; в третьем— начиная с четвёртого и т.д. В результате матрица приводится к ступенчатому виду.

Возможны три основные случая:

1)

Матрица имеет треугольный вид (число неизвестных равно числу линейно независимых уравнений), система имеет единственное решение. Записываем систему, соответствующую преобразованной матрице, из последнего уравнения находим , подставляем в предпоследнее уравнение и находим , затем и т. д.

2) .

Система содержит хотя бы одно уравнение вида , система не имеет решений.

3) .

Матрица не треугольная, так как последнее уравнение содержит более одного неизвестного, система имеет бесконечно много решений.

Задача 13. Решить систему методом Гаусса

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем её:

1) поменяем местами первую и вторую строки:

;

2) прибавим ко второй строке первую, умноженную на , а к третьей первую, умноженную на :

;

3) прибавим к третьей строке вторую, умноженную на :

.

Система уравнений приняла треугольный вид:

Она имеет единственное решение. Из последнего уравнения , подставляя это значение во второе уравнения, получаем . Из первого уравнения находим .

Задача 14. Решить систему методом Гаусса

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем её:

.

1) Прибавим ко второй строке первую, умноженную на , а к третьей первую, умноженную на , получим

.

2) Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на :

.

Матрица приведена к ступенчатому виду, и последнее уравнение содержит несколько неизвестных. Следовательно, система имеет бесконечно много решений.

Первое и второе уравнение преобразованной системы и перепишем в виде:

Выразим неизвестные и через и :

, .

Придавая и различные числовые значения, будем получать различные решения данной системы.