Метод скалярных произведений

Рассмотрим задачу отыскания максимального по модулю собственного значения матрицы А. По определению собственные значениями квадратной матрицы A называются числа, удовлетворяющие соотношению

Ax= λ x, (5.1)

где x - собственный вектор. Собственный вектор x_i (i=1,…,n), соответствующий собственному значению λ_i, является решением однородной системы линейных алгебраических уравнений

(A – λ E) x = 0.

Пусть матрица A размерности m´ m имеет полную систему нормированных собственных векторов е_i (I=1,…,m), т. е. || е_i ||= 1, и пусть

| λ₁ | > | λ₂ | ³ … ³ | λ_m | ³ 0.

Зададим вектор

.

Будем последовательно вычислять векторы по итерационной формуле

xⁿ⁺¹ =Axⁿ.

Тогда xⁿ можно записать следующим образом:

.

Представим это равенство в виде

xⁿ =c₁λⁿe₁ +o(|λ|ⁿ).

Тогда имеем

(xⁿ, xⁿ) =| c₁|² | λ₁ |²ⁿ + o(|λ₁|ⁿ|λ₂|ⁿ).

(xⁿ⁺¹, xⁿ) = λ₁| c₁|² | λ₁ |²ⁿ + o(|λ₁|ⁿ|λ₂|ⁿ).

Находим:

,

при этом

λ = λ + O .

В процессе итераций при n , || x || , если | λ |>1, || x || 0, если | λ | <1, поэтому всегда найдется такое n, что в ЭВМ произойдет АВОСТ, если (при | λ |<1) x станет нулем. Чтобы этого не случилось, рекомендуется использовать следующий алгоритм:

e = ,

x =Ae ,

λ ,

где . Итерационный процесс прекращается, когда будет выполнено условие: | λ⁽ⁿ⁾ - λ^(n-1)| ≤ε.

В случае действительной симметричной матрицы все собственные значения действительны, а отношение задает приближенное значение собственного вектора.

Иногда причиной плохой сходимости итераций может быть то, что начальное приближение x⁽⁰⁾ оказалось ортогональным собственному вектору, соответствующему максимальному по модулю собственному значению. В этом случае рекомендуется сменить начальное приближение.

Для нахождения минимального собственного значения матрицы А, найдем матрицу B= (A - λ₁E) и применим для нее итерационный процесс для нахождения максимального по модулю собственного значения | λ₁(B) |.

Если λ₁(A) >0, то, очевидно, что λ_i (B)= λ_i (A)- λ₁ (A) ≤ 0, i=1,2,…,m. Поэтому λ ₁(B)= min(λ_i(A) - λ₁(A))= min λ_i(A) - λ₁(A), то есть minλ_i (A)= λ₁(A)+λ₁(B).

Если λ₁(A) <0, то max λ_i(A)=min λ_i(A)+ λ₁(B).