Выберем неподвижным тот конец отрезка, для которого знак функции f (x)совпадает со знаком ее второй производной f" (x). Тогда последовательные приближения xn лежат по ту сторону корня x, где функция f (x)имеет знак, противоположный знаку ее второй производной f" (x).
Например, если f" (x) >0 при a £ x £ b, то кривая y=f (x)будет выпукла вниз.
Возможны два случая:
1) f (a) >0, тогда x0=b (рис. 4.5) и неподвижен конец a,
xn+1= xn- (n=0, 1, 2,…);
2) f (a) <0, тогда x0=a (рис. 4.6) и неподвижен конец b,
xn+1= xn - (n=0, 1, 2,…).
Этот метод имеет линейную сходимость, есть погрешность на (n+1) -й итерации пропорциональна погрешности на n -й итерации. В этом случае говорят, что метод первого порядка точности.
Для оценки погрешности n -го приближения корня можно воспользоваться формулой | xn-x | £ или | xn-x | £ | xn - xn-1|,
где m1 = min | f' (x)|, M1 =max| f’ (x)| для всех x [ a, b ].