Русская силлогистика

Силлогизм - это умозаключение, в котором из двух посылок, связанных общим(средним) термином, выводится заключение. Силлогистика - раздел логики, занимающийся анализом и синтезом силлогизмов.

Классическая силлогистика[1] не имеет никакого отношения к здравому смыслу и математике, обременена множеством ненужных определений, законов, правил и т.п. и не воспринимается учащимися. Кроме того, классическая силлогистика далеко не всегда корректна. Поэтому автору пришлось разработать силлогистику здравого смысла[2 - 13]. Поскольку фундаментом этой силлогистики послужили работы русских логиков[14 - 19], то она получила название русской силлогистики, или русской логики.

Для общеразговорной логики вполне достаточно трёх или даже двух базовых суждений (силлогистических функторов):

1. Все X суть Y(Axy);
2. Ни один X не есть Y(Exy);
3. Некоторые X суть Y(Ixy);

Для создания истинно математической силлогистики необходимо прежде всего аналитически описать все силлогистические функторы. До сих пор ни в одном учебнике нет таких формул. Поскольку функторы описывают множества, то для их отображения были созданы круги Эйлера и диаграммы Венна. Они не решили поставленной задачи. Пришлось ввести скалярные диаграммы определённого вида и применить к ним формальный синтез логических функций[3, 4, 12]. Таким образом был построен базис силлогистики.

Все x суть y(Axy).

Традиционное представление этого суждения изображено на скалярной диаграмме. Ширина скалярной диаграммы определяет объём универсума. Под универсумом понимается "мир вещей", или мир понятий, включающий в себя содержимое всех терминов рассматриваемого силлогизма или отдельного суждения.

1 0 x =====------ 1 0y =======----

Из скалярных диаграмм видно, что для переменных ху имеют место состояния 00, 01 и 11, т.е. на этих наборах функция Аху принимает значение 1. Состояние 10 отсутствует, следовательно Аху = 0. Эту информацию занесём в таблицу истинности.

xy | Axy----|-----00 | 101 | 110 | 011 | 1

По таблице истинности синтезируем[3,4,12] логическую функцию Axy:

Axy = (xy')' = x'+y

Здесь и далее апостроф означает отрицание.

Ни один x не есть y(Exy).

Классическое представление Exy изображено на скалярных диаграммах.

1 0 х =====------ 0 1 у ------===== xy | Exy----------00 | 101 | 110 | 111 | 0

Из таблицы имеем:

Exy = (xy)' = x'+y'

Эти соотношения не вызывают сомнений, тем более, что подтверждение тому можно найти при внимательном прочтении работ Порецкого П.С.

Некоторые x суть y.

Лобачевский Н.И. создал "воображаемую геометрию". По образу и подобию великого русского геометра не менее великий русский логик Васильев Н.А. разработал "воображаемую логику". Мы попробуем разобраться хотя бы в общеразговорной(бытовой) логике, тем более, что даже в работах Васильева частному суждению Ixy уделено недостаточное внимание. Функтор Ixy имеет не менее 10 вариантов реализации[5 -7, 10,12]. Рассмотрим лишь наиболее "популярные" из них.

Второй вариант суждения Ixy(русский функтор) представлен рисунке.

x' x -----======= y' y y' a)---======--- y y' b)========----

Из скалярных диаграмм видно, что переменные ху для варианта а) могут одновременно принимать значение 00, а для варианта б) - нет. Это типичная ситуация "может быть", т.е третье значение (i) трёхзначной логики[2,5 - 7, 10,12].

xy | Ixy----------00 | i01 | 110 | 111 | 1

Из таблицы получим соотношение:

Ixy = x+y+ix'y'

Третий вариант суждения Ixy представлен на рисунке. Этот функтор называется Аристотелевским.

x' x ------====== y y' a)========--- y' y y' b)---======--- y' y c)---======== y' yd)-------==== xy | Ixy----------00 | i01 | i10 | i11 | 1

Из таблицы получим соотношение:

Ixy = xy+i(x'+y')

Восьмой вариант функтора Ixy(функтор Васильева Н. А.).

Великий русский логик лишь сформулировал требования к частно-утвердительному функтору. На основании этих требований были решены системы логических уравнений и построены скалярные диаграммы.

x' x------====== y' y y'---======--- xy | Ixy----------00 | 101 | 110 | 111 | 1 Ixy = x+y+x'y' = 1

Под базисом будем понимать определённый набор функторов Аху, Еху, Ixy.В общеразговорной логике все суждения построены в базисе Васильева, поскольку именно он отражает логику здравого смысла. Этот базис имеет следующее аналитическое представление:

Axy = x'+y = (xy')'Exy = x'+y' = (xy)'Ixy(8) = x+y+x'y' = 1

,где в скобках указан номер базиса для частно-утвердительного суждения. С помощью этого базиса можно представить любой другой базис, заменив скалярные диаграммы. Для фиксации и компактного описания введем операцию сцепления (конкатенации) функторов, обозначив ее символом ||. Тогда для частно-утвердительного суждения могут быть получены следующие описания и аналитические выражения [5 - 12]:

9. Ixy(1) = Axy & Ax'y = x10. Ixy(2) = Ixy(8) || (Ax'y & Ay'x) = x+y+ix'y' - русский функтор11. Ixy(3) = Ixy(8) || (Ax'y & Ay'x) || Axy || Ayx = xy + i(x'+y') - функтор Аристотеля12. Ixy(4) = Ixy(8) || Ayx = x+y'+ ix'y13. Ixy(5) = Ixy(8) || Ayx || (Ax'y & Ay'x) = x+ix'14. Ixy(6) = (Ax'y & Ay'x) = x+y15. Ixy(7) = Ixy(8) || Axy || (Ax'y & Ay'x) = y+iy'16. Ixy(8) = x+y+x'y' = 1 - функтор Васильева

На основе базиса силлогистики были разработаны алгоритмы анализа и синтеза силлогизмов[5-9, 12].

Алгоритм "ИЭИ"(Ивановский энергетический институт)

1. Заменить посылки выражениями в соответствии с формулами для функторов A,E,I,O.Если обе посылки частного характера,то заключения не существует.
2. Получить выражение для полной единицы М системы в виде конъюнкции всех посылок.
3. Получить из М заключение силлогизма f(x,y),заменив средний термин m или m' на 1.Если средний термин входит в М автономно,то заменить его на i.

Алгоритм "ТВАТ"(Тушинский вечерний авиационный техникум)

1. Изобразить все возможные ситуации для исходных посылок с помощью скалярных диаграмм.
2. Занести в таблицу истинности все значения f(x,y) для входных наборов xy:00,01,10,11.
3. Выполнить минимизацию логической функции заключения f(x,y).
4. Полученный результат представить в виде силлогистического функтора в соответствии с известным базисом.

Алгоритм "ИЭИ" чрезвычайно прост, но не позволяет работать с единичными множествами, т.е. множествами, состоящими из одного элемента. Алгоритм "ТВАТ" лишён недостатков. Рассмотрим применение этих алгоритмов па конкретных примерах.

Пример 1

Все добрые люди - честныеВсе недобрые люди - агрессивныеНайти заключение f(x,y).

Решение

Добрые люди - m.Честные люди - x.Агрессивные люди - y.Люди - универсум U. По алгоритму "ИЭИ"M = AmxAm'y = (m'+x)(m+y) = mx+m'y. F(x,y) = x+y = Ixy(6) = Ax'y = Ay'x. m ======------x =========----y ---========== xy f(x,y)00 001 110 111 1 F(x,y) = x+y = Ixy(6) = Ax'y = Ay'x

,т.е. результаты всех методов синтеза совпали.

Пример 2

Если в силлогизме

Все люди(x) смертны(m)Сократ(y) - смертен(m)

в качестве универсума примем множество живых существ,т. е. только смертных, то,не зная,что Сократ - человек, получим следующее решение.

M = AxmAym = (x'+m)(y'+m) = x'y'+mF(x,y) = x'y'+i = Ix'y'(3) Проверим этот результат по алгоритму ТВАТ:m ============= x =======------ y1 -----------= y2 =----------- xy f(x,y)00 101 i10 111 i f(x,y) = y'+iy = Ixy'(7)

Мы получили менее жёсткий результат, но он логически обоснован: Сократ не может быть одновременно и человеком, и животным, поэтому у нас в скалярных диаграммах отсутствует ситуация Ixy. К сожалению, в аналитике обе посылки данного силлогизма идентичны, что не соответствует действительности. Этот пример ещё раз подтверждает мысль о бесполезности модусов, которые не учитывают объём универсума и не могут работать с единичными множествами. Отсюда также следует вывод о необходимости абсолютно конкретного аналитического или графического представления каждой посылки.

Пример 3

Все люди(m) смертны(x)Некоторые люди(m) неграмотны(y)-------------------------------f(x,y) =?

Решение

По алгоритму ИЭИ получим: M = AmxImy(8) = (m'+x)&1 = m'+x; f(x,y) = x+i = Ixy(5). Казалось бы, все верно: полное совпадение с правильным модусом 3 й фигуры. Проверим результат с помощью алгоритма ТВАТ. Универсумом являются существа, в том числе и бессмертные(боги). Будем считать богов грамотными, а животных - неграмотными(грамотность - умение читать и писать).

m =======---- +--------+x ===========-- ¦ xy ¦Ixy¦y --========-- +--------+ ¦ 00 ¦ 1 ¦ ¦ 01 ¦ 0 ¦ ¦ 10 ¦ 1 ¦ ¦ 11 ¦ 1 ¦ +--------+ f(x,y) = y'+x = Ayx.

Впервые нарушено одно из правил посылок[1]: если хотя бы одна посылка носит частный характер, то и заключение должно быть частным. Доказана некорректность законов классической силлогистики. Русская логика является строго математической, согласуется со здравым смыслом, проста и прозрачна для освоения не только в вузах, но и в средней школе.

Всем заинтересованным вузам, техникумам, колледжам, школам и математическим кружкам автор готов передать цикл лекций, семинаров и контрольных работ по русской логике безвозмездно при условии незамедлительного внедрения отечественных достижений в учебный процесс.

Литература

1. Кириллов В.И. Старченко А.А. Логика. - М.: Юрист,1995.
2. Лобанов В.И. Базовые проблемы классической логики.//Современная логика:Проблемы теории,истории и применения в науке(Материалы VI Общероссийской научной конференции), СПбГУ, 2000 - с.499 - 504.
3. Лобанов В.И. Синтез и минимизация комбинационных схем//Информатика и образование,N5,2000, стр. 60 - 63.
4. Лобанов В.И. Инженерные методы разработки цифровых устройств.- М:1977(шифр Центр.Политехн.Библиотеки _ W145 4/231).
5. Лобанов В.И. Многозначная силлогистика без кванторов.//НТИ,сер.2,Информ.процессы и системы,N10,1998,с.27-36.
6. Лобанов В.И. Силлогистика Аристотеля-Жергонна.//НТИ,сер.2,Информационные процессы и системы,N9,1999,с.11-27.
7. Лобанов В.И. Фундамент искусственного интеллекта. // НТИ, сер. 2, Информационные процессы и системы, №5, 2000, с. 6 - 18.
8. V. I. Lobanov. The solution of logical equations. // Documentation and Mathematical Linguistics, vol. 32, №5, p. 16 - 34.
9. V. I. Lobanov. Many-valued quantifier-free syllogism (second basis). // Documentation and Mathematical Linguistics, vol. 32, №5, p. 27 - 40 (гонорар выплачен 4.11.2000).
10. 10.Лобанов В. И. Инженерная логика. Часть 1. //НТИ, сер. 2, Информационные процессы и системы, №1,2001, с. 13-23.
11. Лобанов В.И. Практикум по логике суждений. //Информатика и образование, №2,2001.
12. Лобанов В.И. Азбука разработчика цифровых устройств. - М.: 2001, 192с.
13. Лобанов В.И. Практикум по силлогистике. //Информатика и образование, №5,2001.
14. Васильев Н.А.О частных суждениях. - Казань:Университет,1910.
15. Порецкий П.С. О способах решения логических равенств и об одном обратном способе математической логики. - Казань:1881.
16. Брусенцов Н.П. Начала информатики. - М: Фонд "Новое тысячелетие",1994.
17. Брусенцов Н. П. Полная система категорических силлогизмов Аристотеля. -В кн. Вычислительная техника и вопросы кибернетики. Вып.19. - М.: МГУ,1982.
18. Кулик Б.А. Логические основы здравого смысла. - СПб.:Политехника,1997.
19. Светлов В.А. Практическая логика. - СПб: Изд. Дом "МиМ",1997.