Дифференцирование сложной функции

Рассмотрим функцию y = sin x².
Чтобы найти значение этой функции в фиксированнной точке x нужно: 1) вычислить x²; 2) найти значение синуса от полученного значения x².
Иными словами, сначала надо найти значение g (x) = x², а потом найти sin g (x).
В подобных случаях говорят, что задана сложная функция y = f (g (x)).
В нашем примере u = g (x) = x², а y = f (u) = sin u.

Пусть y = f (g (x)) - сложная функция, причем функция u = g (x) дифференцируема в точке x, а функция y = f (u) дифференцируема в соответствующей точке u.
Тогда функция y = f (g (x)) дифференцируема в точке x,

причем y = f (g (x)) g (x).
Запись f '(g (x)) означает, что производная вычисляется по формуле для f '(x), но вместо x подставляется g (x).

2.Таблица основных производных

Функция y = f (x)	Производные элементарных функций простого аргумента	Функция y = f (kx +b)	Производные элементарных функций сложного аргумента
y = xn	y = n xn −1	y =(kx + b) n	y = n k (kx + b) n −1
y = x	y =1	y =(kx + b)	y = k
y = x	y =12 x	y = kx + b	y = k 12 kx + b
y = x 1	y =−1 x 2	y =1 kx + b	y =− k 1(kx + b)2
y = cos x	y =− sinx	y = cos (kx +b)	y =− ksin (kx + b)
y = sin x	y = cosx	y = sin (kx +b)	y = kcos (kx + b)
y = tg x	y =1 cos 2 x	y = tg (kx +b)	y = k 1 cos 2(kx + b)
y = ctg x	y =−1 sin 2 x	y = ctg (kx +b)	y =− k 1 sin 2(kx + b)
y = arcsin x	y =1 1− x 2	y = arcsin (kx +b)	y = k 1 1−(kx + b)2
y = arccos x	y =−1 1− x 2	y = arccos (kx +b)	y =− k 1 1−(kx + b)2
y = arctg x	y =11+ x 2	y = arctg (kx +b)	y = k 11+(kx + b)2
y = arcctg x	y =−11+ x 2	y = arcctg (kx +b)	y =− k 11+(kx + b)2
y = ax a 0 a =1	y = ax lna a 0 a =1	y = akx + b a 0 a =1	y = k akx + b lna a 0 a =1
y = ex	y = ex	y = ekx + b	y = k ekx + b
y = logax a 0 a =1	y =1 x lna	y = loga (kx + b) a 0 a =1	y = k 1(kx + b) lna
y = lnx	y = x 1 x 0	y = ln (kx +b)	y = k 1 kx + b kx + b 0