Реакция звена (системы) на дельта – функцию при нулевых начальных условиях называется импульсной переходной или весовой функцией w(t)

W(p)

W(p)

Звено (Система)

Звено (Система)

1(t) h(t) δ(t) w(t)

1/p H(p) 1 W(p)

Рис. 14.2. Схема получения переходной h(t) и весовой w(t) функций звеньев и систем.

Перечисленные характеристики отражают динамические свойства звеньев и систем.

Зная передаточную функцию исследуемого объекта (звена, системы), h(t) и находятся следующим образом:

, (14.1)

. (14.2)

Из уравнений (14.1) и(14.2) следует то, что h(t) и связаны простой зависимостью

. (14.3)

Одной из важных особенностей h(t) и является то, что они позволяют классифицировать (упорядочить) звенья АСР по их динамическим свойствам, оценивать и сравнивать различные по динамическим свойствам системы и т.д.

Переходную функцию можно достаточно просто получать экспериментально на реальном оборудовании, изменив входной сигнал объекта исследования скачкообразно. Экспериментальным методом пользуются в том случае, когда получить математические модели объектов управления, элементов систем на основе известных физических законов невозможно из-за сложности реализуемых в них процессов. В этом случае прибегаю к методу «черного ящика», когда о свойствах исследуемых объектов судят по их реакции на определенные виды входных воздействий. Знание входного и выходного сигналов позволяет получить «экспериментальные» передаточные функции. Их основное отличие от аналитических, полученных с использованием известных физических законов в том, что экспериментальные передаточные функции не содержат никакой информации о внутреннем содержании исследуемых объектов.

Так, например, в полученных на основе законов электротехники передаточных функциях электрического двигателя коэффициенты характеристических полиномов (полиномов знаменателей) связаны с такими параметрами как – сопротивление и индуктивность якорной цепи двигателя.

Передаточных функций, связывающих влажность бумажного полотна, получаемого на бумагоделательной машине, с давлением пара, поступающего в сушильные цилиндры для термического удаления влаги из бумажного полотна, на настоящее время не существует, поскольку описать математически процессы удаления влаги из бумажного полотна не представляется возможным.

То же имеет место и для большинства технологических объектов в разных отраслях промышленности.

В этом случае единственный путь получения математического описания процессов объекта в виде, например, передаточной функции – экспериментальный метод, метод «черного ящика» (ящика – объекта черного, темного, не ясного, не понятного по внутреннему содержанию).

Для его реализации сигнал объекта, рассматриваемый как входной, изменяют ступенчато, что соответствует в математическом плане так называемой ступенчатой функции x_вх(t) = Δх_вх1(t), т.е. функции ступенчатой по характеру с величиной ступеньки Δх_вх . Реальный скачкообразный (ступенчатый) сигнал, в зависимости от его физической природы, имеет определённые параметры и числовые значения Δх_вх, например, 5в; 0,2 кгс/см²; 2мА. Полученный в ходе эксперимента график переходного процесса выходной величины объекта можно описать как х_вых = Δх_вх h(t), где h(t) - переходная функция.

На основе этого графика получают «экспериментальную» передаточную функцию, используемую в расчетах системы.

При проведении эксперимента необходимо учитывать условия работы АСР и их элементов, заключающиеся в малости отклонений параметров состояния от их номинальных значений. Величина Δх_вх должна выбираться в пределах 5 – 10 % от номинального значения . Если же выйти за указанные пределы, могут сказаться эффекты нелинейности реальных зависимостей, что повлияет на точность математического описания исследуемого объекта.

Следует заметить, что при наличии реального объекта и его теоретической (аналитической) модели ее точность, близость к описанию процессов в объекте можно оценить, сравнив экспериментальную и аналитическую переходные функции. Такая оценка может послужить основой для подтверждения правильности теоретических рассуждений и выводов и при необходимости их уточнить или отвергнуть.

В том случае, когда необходимо аналитически оценить реакцию исследуемого объекта на сложный входной сигнал, можно воспользоваться знаниями h(t) и и определить такую реакцию как сумму реакций на ступенчатые или импульсные сигналы, из которых может быть составлен исходный сигнал.

Так, при использовании ступенчатых функций (рис.14.3,а) входной сигнал можно представить в следующем виде:

, (14.4)

где N – число используемых для аппроксимации ступенчатых функций.

Выходной сигнал при этом определяется как

, (14.5)

при t ˂ ti при t ≥ ti

где (14.6)

При представлении как суммы импульсов длительностью (рис.14.3,б), когда площадь каждого импульса можно представить в виде

, (14.7)

получим

, (14.8)

где N – число участков, на которые разбит интервал действия

Единичный импульс вызывает переходный процесс в виде весовой функции , а импульс вызовет переходный процесс , ординаты которого будут в раз отличаться:

. (14.9)

Тогда переходный процесс объекта определится следующим образом:

. (14.10)

В пределе при и получим выражение, называемое интегралом Дюамеля:

. (14.11)

Х_вх(t)

DX_{вх i}

0 t

a

Х_вх(t)

Х_вх(t_i)

0 t

t_i

Dt

б

Рис.14.3. Представление через ступенчатые функции (а) и импульсы (б)

Методы анализа работы элементов и систем, основанные на изучении их временных характеристик, являются самыми наглядными из существующих. Поэтому при расчётах систем в большинстве случаев на заключительном этапе рассчитывают переходные процессы в спроектированной АСР при определённых входных воздействиях. По полученным графикам изменения регулируемой величины делают заключение о качестве работы АСР.

Вопросы для самоконтроля

1. Какие временные характеристики звеньев и систем существует?

2. Какие пути определения реакции звена или системы на любой входной сигнал существуют?

3. Как используются принципы суперпозиции и гомогенности при определении выходного сигнала звена (системы) как реакции на сложный входной сигнал?