Для многофакторных задач

При оптимизации многофакторных задач часто используют метод Гаусса-Зейделя – метод последовательного поиска локальных оптимальных значений переменных и локальных экстремумов (закрепляя все факторы, кроме одного, как константы, и варьируя решение задачи по единственному переменному параметру. Среди локальных экстремумов затем находят глобальный экстремум. Для наглядности рассмотрим работу метода при оптимизации двухпараметрической задачи, для которой заданы целевая функция = МАХ, область исследования и погрешность определения точки экстремума для каждого из параметров.

Алгоритм метода иллюстрируется рис. 5.6 и состоит из трех элементов:

1. На первом этапе расчета закрепляют произвольно значения всех параметров, кроме одного, например Х₂. Любым методом поиска экстремума, например, методом сканирования, находят локальное оптимальное значение Х_{2 ОПТ. ЛОК.1} для первого этапа варьирования переменных, при котором значение локального критерия оптимальности _.

2. Х_{2 ОПТ. ЛОК.1}

1 3 5

Х_{1 ОПТ. ЛОК.2}

Рис. 5.6. Иллюстрация метода Гаусса-Зейделя

1-5 – этапы очередного изменения параметров, –локальные оптимальные значения переменных, – координаты глобального экстремума.

2. На втором этапе закрепим Х₂ = Х_{2 ОПТ. ЛОК.1} и найдем аналогичным путем оптимальное значение координаты Х_{1 ОПТ. ЛОК.2} , при котором . Таким образом, в течение двух этапов расчета область исследования была изучена с определением локального экстремума с величиной критерия оптимальности и выполнен первый цикл решения задачи оптимизации.

3. Аналогично пунктам 1 и 2 продолжим последовательно изменять переменные, пока координаты очередных локальных экстремумов не станут смещаться друг относительно друга на величину меньшую . При этом, например, на втором цикле расчета будут выполнены третий и четвертый этапы расчета (рис. 5.6). Ступенчатой линией из стрелок на рис. 5.6 изображен последовательный переход по локальным экстремумам по области исследования к глобальному экстремуму.

Особенностью решения многопараметрических задач оптимизации заключается резкое возрастание объема расчетов, что далеко не всегда позволяет решить задачу. При этом очень важно подобрать быстродействующий метод расчета. Проиллюстрируем эту ситуацию на следующем примере. Необходимо оптимизировать технологический процесс, описываемый целевой функцией = МАХ методом сканирования, область исследования и погрешность определения точки экстремума для каждого из параметров таковы, что ()/ равно всего 100 (например, температурный диапазон задачи в 100 ⁰С довольно грубо исследуется с погрешностью в 1 градус). Тогда для решения задачи методом сканирования по одному параметру придется сделать 100 расчетов, по двум – 100² , по – . Если в задаче оптимизации химического процесса с простой реакцией типа А +В С нас будут интересовать всего только лишь 6 факторов процесса (расход сырья, состав сырья, температура, давление, расход катализатора и концентрация в нем активного компонента) то для решения задачи потребуется 10¹² расчетов критерия оптимальности и координат расчетных точек. При использовании быстродействующих компьютеров, позволяющих выполнить расчет 10000 циклов алгоритма в секунду на решение задачи придется потратить более 100 суток непрерывной работы. Решение задач с числом параметров больше шести методом сканирования становится нереально по затратам времени, однако использование более сложных, но эффективных алгоритмов позволяет решить задачу намного быстрее. Например, применение в рассмотренной выше ситуации вместо метода сканирования метода чисел Фибоначчи позволяет исследование одной оси выполнять не за 100, а за 11 циклов расчета, а всю задачу в целом за несколько часов.