Матрыца лінейнага аператара

Азн. 11.1. Калі V - лінейная прастора над над Р, а f: V V – лінейнае адлюстраванне, тады f называецца лінейным аператарам, ці эндамарфізмам прасторы V. Мноства эндамарфізмаў прасторы V абазначаецца End_P(V), ці End(V).

Азн. 11.2. Няхай V -лінейная прастора над Р, dim V =n, f ÎEnd(V) і базіс V

. (1)

Абазначым = = = . (2)

Матрыца А =() сістэмы вектароў у базісе (1) называецца матрыцай эндамарфізма f у базісе (1).

Пр. 11. 3. 1) D: :

Эндамарфізм D у базісе 1, x, x² мае матрыцу А = .

2) Эндамарфізм - паварот вакол пункта 0 на вугал , у базісе мае матрыцу

3) Знойдзем матрыцу таго ж эндамарфізма у базісе :

;

Такім чынам, эндамарфізм у базісе мае матрыцу .

(Заўважам, што ў базісе ён мае матрыцу ).

Ул-ць 11.4. Калі (1)-базіс лінейнай прасторы, тады кожнаму эндамарфізму адпавядае некаторая матрыца з Mat(n´n,Р). Кожнай матрыцы А ÎMat(n´n,P) адпавядае эндамарфізм f ÎEnd(V), які ў базісе (1) мае матрыцу А.

Доказ. Адпаведнасць эндамарфізму матрыцы эндамарфізму дадзена ў азначэнні 11.2. Няхай дадзена матрыца. Праз абазначым вектар, каардынатамі якога ў базісе (1) з’яўляецца і -ты слупок матрыцы А. Па тэаоэме 8.4 існуе эндамарфізм f прасторы V такі, што i f () = . Відавочна, што f у базісе (1) мае матрыцу А. ■

Тэарэма 11.5. Няхай (1) – базіс V, f ÎEnd(V) і A -матрыца f у базісе (1). Для аадвольнага вектара V, калі Х - слупок яго каардынат у базісе (1), тады слупок каардынат Y вектара у базісе (1) роўны Y = .

Доказ. Няхай , , тады . Паколькі (1) – базіс, атрымоўваем, што j = . Застаецца заўважыць, што - гэта j -ты элемент слупка, які з’яўляецца здабыткам матрыцы А на слупок Х. Такім чынам даказалі, што Y = .■

Прыклад 11.6. У прыкладзе 11.3.2 мы разглядалі аператар : V₂ V₂. Паспрабуем рознымі шляхамі знайсці (), дзе = .

Рашэнне 1. Паколькі ()= ; ()= - , тады () = ()= =3 ()+4 () =3 +4(- ) =-4 +3 .

Рашенне 2. У базісе , аператар мае матрыцу А = , а вектар мае слупок каардынат Х = . Згодна з тэарэмай 11.5 вектар () у базісе , мае слупок каардынат Y=АХ = × = . Гэты адказ адпавядае атрыманаму раней.

Паспрабуем яшчэ адказаць на пытанне: якія каардынаты мае вектар () у базісе = , = + ?

Рашэнне 1. Дастаткова знайсці каардынаты вектара -4 +3 у базісе , . Гэта можна зрабіць па азначэнню каардынат вектара у базісе:

-4 +3 = х +у ,

-4 +3 = х +у( + ),-4 +3 = (х+у) +у .

Паколькі , - базіс, , значыцца, і .

Рашэнне 2. Матрыца Т пераходу ад базіса , да базіса , - роўная Т = .

Па тэарэме 6.8 слупкі каардынат Х і вектара ў базісах , і , звязаны залежнасцю = Х.

Паколькі = , атрымоўваем: = Y = × = .

Рашэнне 3. Як у рашэнні 2, = Х = × = . У прыкладзе 11.3.2 знайшлі, што аператар мае ў базісе , матрыцу В = . Тады згодна з тэарэмай 11.5 = В = × = .

Лема 11.7. Няхай матрыцы С, D Î Mat(m´n,P) такія, што для адвольнага слупка Х ÎMat (n ´1,P) СХ = DX , (3)

тады С = D.

Доказ. Паколькі Х – адвольная матрыца, разгледзім паступова слупкі Х, у якіх адзін элемент роўны 1, а астатнія- 0.

Калі Х = , з роўнасці (3) відавочна атрымоўваецца, што ў матрыцах С і D першыя слупкі роўныя. Калі Х = , тады атрымоўваем роўнасць другіх слупкоў матрыц С і D.

Такім чынам, атрымаем, што ўсе адпаведныя слупкі матрыц С і D роўныя, з чаго вынікае роўнасць С = D. ■

Тэарэма 11.8. Няхай f – лінейны аператар прасторы V, (1) і

(4)

базісы прасторы V, Т -матрыца пераходу ад базіса (1) да базіса (4), А і В – матрыцы аператара f у базісах (1) і (4) адпаведна. Тады В = АТ.

Доказ. Па тэарэме 11.5, калі Y і - адпаведна слупкі каардэнат вектара f () у базісах (1) і (4), маем = В і Y=АХ. Па тэарэме 6.8 = Х і = Y.