Прыклад 12.6

Прыклад 12.2.

1. V₂ са скалярным здабыткам, які вывучаўся ў курсе геаметрыі: калі = + , = + (; )= + з’яўляецца эўклідавай прасторай.

2. С [a;b]- мноства непарыўных на [a;b] функцый.

Калі f, g Î С [a;b], азначым (f, g)= . Праверце, што на С [a;b] зададзены скалярны здабытак, такім чынам, С [a;b]- эўклідава прастора.

Ул-ць 12.3. У адвольнай эўклідавай прасторы ε:

1) Î ε (; )=(; )= ;

2) Î ε (; + )=(; )+(; );

3) Î ε ÎR (; )= (; );

4) Î ε, ÎR (; )= (; );

5) Î ε ÎR (; )= (; ).

Доказ.

1) (; )=(;0 )=0(; )=0.

2) (; + )=( + ; )=(; )+(; )=(; )+(; ).

3) (; )=( ; )= (; )= (; ).

4) ММІ па п.

п =1 ( ; )= (; ) па 12.1.3.

п =2 ( + ; )=( ; )+( ; )= (; )+ (; ).

Калі праўдзіцца для п, разгледзім п +1. ( = = )+( ; ) = (; )+ (; ) = (; ).

5) (; )= (; )= (; )= (; )=

= (; ).■

Ул-ць 12.4. Няхай V - эўклідава прастора са скалярным здабыткам (·; ·), U - падпрастора ў V. Тады U са скалярным здабыткам (·; ·): U ´ U R з’яўляецца эўклідавай прасторай.

Доказ. Відавочна з азначэння 12.1 ■.

Азн. 12.5.Даўжынёй (нормай) вектара Î ε называецца рэчаісны лік = .

З 12.1.4 і 12.3.1 вынікае, што і азначана карэктна.

Прыклад 12.6.

12.6.1. У адпавядае геаметрычнаму азначэнню даўжыні вектара.

12.6.2. У С [a;b] = .

Ул-ць 12.7. У эўклідавай прасторы ε:

1) = 0 тады і толькі тады, калі = ;

2) = .

Доказ.

1) Калі = , тады = = =0. Калі , тады >0, адкуль = >0.

2) = = = .■

Азн. 12.8. Вектар Î ε называецца нармаванным, калі =1.

Ул-ць 12.9. Калі , тады вектар - нармаваны.

Доказ. = = =1.■

Уласцівасць 12.10. (Няроўнасць Кашы-Бунякоўскага)

Î ε (1)

Роўнасць у (1) мае мейсца тады і толькі тады, калі і - калініярныя, гэта значыць kÎR такі, што =k (ці = k ).

Доказ. Калі = , тады (1) праўдзіцца па 12.3.1 і =0 .

Калі па 12.1.4 і 12.3.1 (; ) , значыцца R ( - ; - ) , (2) значыцца, R -2 + . (3)

Паколькі , квадратны трохсклад у левай часцы (3) дадатны пры усіх R. Гэта магчыма тады і толькі тады, калі , дзе D– дыскрымінант квадратнага трохскладу.

Паколькі , першая няроўнасць сістэмы выконваецца.

D<0 значыцца ≤ × што эквівалентна || ||×|| || (4)

Калі , роўнасць у (1) мае месца тады і толькі тады, калі мае месца роўнасцьу (4), што эквівалентна таму што няроўнасць (3) а, значыцца і няроўнасць (2), становяцца роўнасцямі, а гэта магчыма толькі калі: ( -λ , -λ )=0.

З гэтага па 12.7.1 атрымоўваем, што: -λ =0 і =λ .

Калі = , тады ў (1) мае месца роўнасць і =0 .■

Вынік 12.11. Калі , належаць ε \ { , } тады -1 ≤ ≤ 1.