Прыклад 19.3

Квадратычныя формы

Азначэнне 19.1.Квадратычнай формай ад літар (зменных) называюцца

F () = , (1)

дзе R.

Калі ў (1) прысутнічаюць складнікі , тады іх суму магчыма запісаць ў выглядзе ,

прычым, відавочна, .Такім чынам, у далейшым будзем лічыць, што .

Уласцівасць 19.2. Калі атаесаміць рэчаісны лік і матрыцу тады

F () = , (2)

дзе A = () - сіметрычная матрыца каэфіцыентаў квадратычнай формы, а – слупок невядомых (зменных).

Доказ: Дастаткова знайсці здабытак у (2) і атрымаць (1). ■

Прыклад 19.3.

19.3.1. Квадратычная форма мае матрыцу A = .

19.3.2. Квадратычная форма мае матрыцу

A = .

Азначэнне 19.4. Няхай зменныя лінейна выяўляюцца праз зменныя наступным чынам: (3)

Калі замест у (1) падставім іх выяўленне праз па формулам (3), тады атрымаем квадратычную форму F ( ). Пры гэтым будзем казаць, што новая квадратычная форма атрымана з (1) з дапамогай замены (3).

У выніку замены атрымаем квадратычную форму адносна зменных так як пасля раскрыцця дужак атрымаем складнікі другой ступені адносна .

Азначэнне 19.5. Матрыца называецца матрыцай замены (3).

Уласцівасць 19.6. Калі квадратычная форма F₁( ) атрымана з квадратычнай формы (1) з дапамогай замены (3) з матрыцай Т, тады новая квадратычная форма мае матрыцу (4)

Доказ: Няхай X і Y – слупкі зменных і . Відавочна, што згодна з (3) . Тады па 19.2, калі В – матрыца квадратычнай формы F₁, тады F₁ = . Але, з (2) вынікае, што F₁( ) = . Для таго каб даказаць, што застаецца паказаць, што матрыца – сіметрычная. На самой справе, (мы выкарысталі тое, што А – сіметрычная матрыца).■

Прыклад 19.7. Разгледзім квадратычную форму F() = . Выдзелім у ёй поўны квадрат па зменнай :

= . (5)

Відавочна, што калі ў квадратычнай форме F() абазначым , (6) тады (5) будзе роўная . Выявім з (6) і праз і : .(7)

Формулы (7) з’яўляюцца формуламі замены, у выніку якой квадратычная форма прыводзіцца да выгляду .

Нескладана убачыць, што – матрыца замены (7).

У 19.3.1. знайшлі, што квадратычная форма мае матрыцу . Квадратычная форма мае матрыцу . Нескладана праверыць, што адпавядае 19.6.

Азначэнне 19.8. Кажуць, што квадратычная форма мае кананічны выгляд, калі яе матрыца – дыяганальная.

У прыкладзе 19.7 мы знайшлі замену (7), з дапамогай якой квадратычную форму з прыклада 19.3.1. прывялі да кананічнага выгляду .

Відавочна, што квадратычныя формы, якія маюць кананічны выгляд – найбольш простыя і зручныя да даследавання. Далей у гэтым параграфе мы разгледзім пытанне аб адшуканні замены, з дапамогай якой дадзеная квадратычная форма прыводзіцца да кананічнага выгляду.

Тэарэма 19.9. Для кожнай квадратычнай формы існуе замена, якая прыводзіць форму да кананічнага выгляду, прычым, існуе неабходная замена, матрыца T якой - артаганальная.

Доказ: Няхай дадзена квадратычная форма (1) з матрыцай А. Разгледзім эўклідаву прастору і фіксуем у ёй некаторы ортаўнармаваны базіс. Па ўласцівасці 11.4 існуе аператар f прасторы , які ў дадзеным базісе мае матрыцу А. Так як матрыца А – сіметрычная, па 18.4 аператар f – самаспалучаны. Па тэарэме 18.8 існуе ортаўнармаваны базіс з уласных вектараў аператара f, у якім матрыца В аператара – дыяганальная. Калі Т – матрыца пераходу ад старога базіса да новага, тады Т – артаганальная матрыца (абодва базіса – ортаўнармаваныя і застаецца выкарыстаць 15.4 і 15.8), значыцца .

Тады па тэарэме 11.8 .

Такім чынам, атрымалі, што калі ў квадратычнай форме (1) зрабіць замену з артаганальнай матрыцай замены Т, тады атрымаем квадратычную форму, якая мае дыяганальную матрыцу В, значыцца, з’яўляецца кананічнай.■