Подготовка к контрольной работе по теме

«Дифференциальное исчисление функции одной переменной»

Контрольная работа №1 содержит две группы заданий: в первой группе - три примера на проверку техники дифференцирования явной функции или функции, заданной параметрическим способом. Во второй группе − два задания: одно на геометрические приложения производной, другое на вычисление предела с помощью правила Лопиталя-Бернулли.

При решении задач на вычисление производной функции одной переменной нужно использовать таблицу производных основных элементарных функций, общие правила дифференцирования, правила дифференцирования сложной функции и функции, заданной параметрически, а также логарифмическую производную. Ниже приведены все эти правила.

Общие правила дифференцирования:

Правило дифференцирования сложной функции функции:

6. если .

При дифференцировании произведения или частного нескольких функций, а также сложно-степенной функции целесообразно использовать логарифмическую производную: если то . Этот прием называют предварительным логарифмированием.

Правило дифференцирования параметрически заданной функции:

7. или , если

Уравнения касательной и нормали к графику явной функции в точке , где , имеют вид:

Если , то − уравнение касательной, − уравнение нормали.

Если , то − уравнение касательной, − уравнение нормали.

Уравнения касательной и нормали к графику функции, заданной параметрически уравнениями ) в точке , где y ₀ = y (t ₀ ), x ₀ = j (t ₀ ), , имеют вид:

− касательная,

− нормаль.

Если то − уравнение касательной, − уравнение нормали.

Если то − уравнение касательной, − уравнение нормали.

Угловой коэффициент касательной k равен значению производной заданной функции в точке проведения касательной и, как угловой коэффициент прямой, равен тангенсу угла, образованного касательной прямой с положительным направлением оси Ох: , где a − угол с Ох.

При вычислении пределов функций, связанных с раскрытием неопределенностей вида , можно использовать правила Лопиталя-Бернулли: , если существует предел .

При раскрытии неопределенностей вида 0×¥, ¥¤¥, ¥⁰, 0⁰, 1^¥ следует преобразовать исходную функцию с таким расчетом, чтобы далее можно было использовать правила Лопиталя. При вычислении предела сложно-степенной функции, связанного с раскрытием неопределенности одного из трех последних перечисленных выше видов, можно применять предварительное логарифмирование. Ниже приведены: методика выполнения контрольной работы, типовой вариант и его решение.