Методика выполнения контрольной работы

При выполнении заданий 1−3 следует:

1) определить способ задания функции − явный или параметрический;

2) в случае явного задания выбрать подходящие правила дифференцирования, определить последовательность их применения и реализовать их;

3) в случае параметрического задания функции воспользоваться правилом 7 параметрического дифференцирования и правилами 1-6 при нахождении производных .

В задаче 4 следует:

1) определить способ задания функции − явный или параметрический;

2) заполнить таблицу 1, для чего подставить из условий задачи или найти обе координаты точки (и ) и вычислить производную :

○ для явной функции производная ;

○ для функции, заданной параметрическими уравнениями , найти производную ;

3) по значению выбрать подходящий частный случай − один из трех: 1) , 2) 0; 3) ) и составить уравнение касательной (или уравнение нормали).

В задаче 5 следует:

1) подставить предельное значение аргумента и определить вид неопределенности;

2) если неопределенность имеет вид , то применить правило Лопиталя непосредственно. Если получается снова неопределенность вида , то повторно применить правило Лопиталя. Если в ходе применения правила Лопиталя получается выражение, не имеющее никакого предела, то следует использовать иной способ решения задачи − тождественные преобразования, эквивалентные функции, замечательные пределы или сочетание приемов;

3) если получена неопределенность, отличная от случая в п.2, то функцию надо преобразовать так, чтобы получилась неопределенность вида и далее действовать согласно п.2.

Типовой вариант

Найдите производные функций:

4. Напишите уравнение нормали к кривой х= 3sin t, y = 3cos ³t, в точке, где t₀= p/3 .

5. Найдите предел

Решение типового варианта

1.a). Применяя последовательно правила дифференцирования, получим:

так как в ОДЗ заданной функции и, следовательно, ½ х ½= х.

1.b). При решении этого примера заданную функцию предварительно формально прологарифмируем:

Используем свойства логарифма и упростим выражение в правой части последнего равенства:

Дифференцируя последнее равенство по х, получим:

Разрешая последнее равенство относительно производной , проходим к следующему результату:

1.c) Применим правило дифференцирования сложной функции.

2. Чтобы написать уравнение нормали, нужно найти координаты точки (х ₀, у ₀) графика функции, через которую проходит нормаль.

Угловой коэффициент k нормали равен:

Угловой коэффициент нормали равен Уравнение нормали имеет вид: или

3. Вычисление заданного предела связано с раскрытием неопределенности вида 0/0. Так как функции, образующие частное, дифференцируемы в проколотой окрестности нуля, то в соответствием с правилом Лопиталя получаем: