Нахождение производных неявной функции, заданной параметрически. Логарифмическое дифференцирование

Практическая работа № 15.

Цель работы. Проверить знания и умения учащихся в нахождении производных неявной функции, функции, заданной параметрически, в нахождении производных логарифмическим дифференцированием.

Теоретический материал.

1. Производная неявной функции.

Если функции задана уравнением, не разрешенным относительно

то для нахождения производной надо продифференцировать по обе части этого уравнения, учитывая, что есть функция по и затем разрешить полученное уравнение относительно Чтобы найти надо уравнение продифференцировать дважды по

Пример 1. Найти вторую производную от функции заданной неявно уравнением

Решение.

Дифференцируя по обе части данного равенства и считая при этом функцией по находим

Равенство (*) снова продифференцируем по

Пример 2. Найти значение в точке для функции

заданной неявно, если

Решение. ;

Подставим

Пример 3. Найти производную функции если

Решение.

;

Пример 4. Найти производную функции если

Решение.

Пример 5. Найти производную функции если

Решение.

;

;

Пример 6. Найти если

Решение.

; ;

Продифференцируем обе части равенства , получим

1. Логарифмическое дифференцирование.

Логарифмическая производная функции f(x)>0 есть производная от логарифма данной функции ln f(x):

Вычисление логарифмической производной называется логарифмическим дифференцированием. Логарифмическое дифференцирование применяется при вычислении производной степенно-показательной функции, т.е. функции вида:

А также при нахождении производной произведения нескольких функций или производной дроби.

Пример 1. Найти производную функции

Решение.

;

;

Пример 2. Найти производную функции

Решение:

;