Возрастание и убывание функции. Экстремум функции

Определение 1. Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если f(x₂) > f(x₁) при x₂ > x₁.

Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b) функции f(x) в любой точке этого интервала приращения D x и D y имеют одинаковые знаки.
График возрастающей функции показан на рисунке1(а).
Если из неравенства x₂ > x₁ вытекает нестрогое неравенство f (x₂) ³ f (x₁), то функция f (x) называется неубывающей в интервале (a, b). Пример такой функции показан на рисунке 2(а). На интервале [ x₀, x₁ ] она сохраняет постоянное значение C
Определение 2. Функция f (x) называется убывающей в интервале (a, b) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если f(x₂) < f(x₁) при x₂ > x₁.

Из этого определения следует, что у убывающей в интервале (a, b) функции f (x) в любой точке этого интервала приращения D x и D y имеют разные знаки. График убывающей функции показан на рисунке 1(б).

Если из неравенства x₂ > x₁ вытекает нестрогое неравенство f(x₂) £ f(x₁), то функция f (x) называется невозрастающей в интервале (a, b). Пример такой функции показан на рисунке 2(б). На интервале [ x₀, x₁ ] она сохраняет постоянное значение C.

Теорема 1. Дифференцируемая и возрастающая в интервале (a, b) функция f (x) имеет во всех точках этого интервала неотрицательную производную.
Теорема 2. Дифференцируемая и убывающая в интервале (a, b) функция f (x) имеет во всех точках этого интервала неположительную производную.

Пусть данная непрерывная функция убывает при возрастании x от x₀ до x₁, затем при возрастании x от x₁ до x₂ - возрастает, при дальнейшем возрастании x от x₂ до x₃ она вновь убывает и так далее. Назовем такую функцию колеблющейся.
График колеблющейся функции показан на рисунке 3. Точки A, C, в которых функция переходит от возрастания к убыванию, так же, как и точки B, D, в которых функция переходит от убывания к возрастанию, называются точками поворота или критическими точками кривой y = f (x), а их абциссы - критическими значениями аргумента x
В той точке, где функция переходит от возрастания к убыванию, ордината больше соседних с ней по ту и другую сторону ординат. Так, ордината точки A больше ординат, соседних с ней справа и слева и достаточно к ней близких, т.е. значение функции в точке A, абсцисса которой равна x₀, больше значений функции в точках, абсциссы которых достаточно близки к x₀: f (x₀) > f (x₀+ ∆ x).

На рисунке 4(a) изображена функция f (x), непрерывная в интервале (a, b). В интервале (a, x₀ ] она возрастает, на интервале [ x₀, x₁ ] - сохраняет постоянное значение: f (x₀) = f (x₁) = C, в интервале [ x₁, b) - убывает. Во всех точках, достаточно близких к x₀ (или x₁), значения функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x₀) ³ f (x).

Значение f (x₀) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное неравенство, называется максимальным значением функции f (x) или просто максимумом.
Определение 3. Максимумом функции f (x) называется такое значение f (x₀) этой функции, которое не меньше всех значений функции f (x) в точках x, достаточно близких к точке x₀, т.е. в точках x,

принадлежащих некоторой достаточно малой окрестности точки x₀.
Так, на рисунке 3 показаны два максимума: f (x₀) и f (x₂).
В той точке, где функция переходит от убывания к возрастанию, ордината меньше ординат в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от нее. Так ордината точки B меньше ординат в точках соседних и достаточно близких к точке x₁ справа и слева. Значение функции в точке, абсцисса которой равна x₁, меньше значений функции в точках, абсциссы которых достаточно мало отличаются от x₁: f (x₁) < f (x₁+ D x).

На рисунке 4(б) изображена функция f (x), непрерывная в интервале (a, b). В интервале (a, x₀ ] она убывает, на интервале [ x₀, x₁ ] - сохраняет постоянное значение: f (x₀) = f (x₁) = C, в интервале [ x₁, b) - возрастает. Во всех точках, достаточно близких к x₀ (или x₁), значения функции f (x) удовлетворяют нестрогому неравенству f (x₀) £ f (x).

Значение f (x₀) функции f (x), при котором выполняется вышеуказанное неравенство, называется минимальным значением функции f (x) или просто минимумом.
Определение 4. Минимумом функции f (x) называется такое значение f (x₀) этой функции, которое не больше всех значений функции f (x) в точках x, достаточно близких к точке x₀, т.е. в точках x, принадлежащих некоторой

достаточно малой окрестности точки x₀.
Так, на рисунке 3 показаны два минимума: f (x₁) и f (x₃).
По определению наибольшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x₀), для которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x₀) ³ f (x), а наименьшим значением функции f (x) на интервале [ a, b ] является такое значение f (x₀), для которого для всех точек интервала [ a, b ] выполняется неравенство f (x₀) £ f (x).
Из этих определений следует, что функция может достигать своего наибольшего или наименьшего значения как внутри интервала [ a, b ], так и на его концах a и b. Здесь же максимум и минимум функции f (x) были определены соответственно как наибольшее и наименьшее значения в некоторой окрестности точки x₀.
Если в точке x₀ функция f (x) достигает максимума или минимума, то говорят, что функция f (x) в точке x₀ достигает экстремума (или экстремального значения).
Функция f (x) может иметь несколько экстремумов внутри интервала [ a, b ], причем может оказаться, что какой-нибудь минимум будет больше какого-нибудь максимума. Таким образом, наибольшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это наибольший из экстремумов функции внутри этого интервала и наибольшее из значений функции на концах интервала.
Аналогично наименьшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ] - это наименьший из экстремумов функции внутри этого интервала и наименьшее из значений функции на концах интервала.

Например функция, изображенная на рисунке 3, достигает наибольшего значения f (x) в точке x₂, наименьшего - в точке x₁ интервала [ x₀, x₃ ]. На рисунке 5 изображена функция, имеющая бесконечное число минимумов и максимумов.

Теорема 3 (необходимый признак экстремума). Если функция f (x) имеет в точке x₀ экстремум, то ее производная в данной точке или равна нулю или не существует.
Но функция f (x) может иметь экстремумы и в тех точках x₀, в которых ее производная не существует. Например функция y = | x | в точке x₀ = 0 не дифференцируема, но достигает минимума. Точки такого типа называют угловыми. В них кривая не имеет определенной касательной.

На рисунке 6 изображена функция f (x), не имеющая в точке x₀ производной [ f' (x₀) = ¥] и достигающая в этой точке максимума. При x ® x₀ и x < x₀f' (x) ® +¥, при x ® x₀ и x > x₀ f' (x) ® -¥. Значит касательная кривой y = f (x) при x = x₀ перпендикулярна к оси Ox. Такие точки называются точками возврата кривой y=f(x).
Таким образом, необходимым признаком существования в точке x₀ экстремума функции f (x) является выполнение следующего условия: в точке x₀ производная f' (x) или равна нулю, или не существует.
Этот признак не является достаточным условием существования экстремума функции f (x) в точке x₀: можно привести много примеров функций, удовлетворяющих этому условию при x = x₀, но, однако, не достигающих экстремума при x = x₀.
Например, производная функции y = x³ при x₀ = 0 равна нулю, однако эта функция при x₀ = 0 не достигает экстремального значения.