Решение

Рассмотрим функцию y=f(x), имеющую в окрестности точки х=а все производные до порядка (n+ 1) включительно, и поставим задачу: найти многочлен y=P_n(x) степени не выше n, для которого его значение в точке а, а также значения его производных по n -й порядок равны значениям при x=a выбранной функции и ее производных соответствующего порядка:

Пусть искомый многочлен имеет вид:

P_n(x)=C₀+C₁(x-a)+C₂(x-a)²+…+C_n(x-a)ⁿ.

При этом

Тогда

Из формул (21.3) можно выразить коэффициенты С_i через значения производных данной функции в точке а.

Дополнительно вводится 0!=1.

Используя это обозначение, получим:

Таким образом, искомый многочлен имеет вид:

Обозначим через R_n(x) разность значений данной функции f(x) и построенного многочлена P_n(x): R_n(x) = f(x) – P_n(x), откуда f(x) = P_n(x) + R_n(x) или

Полученное представление функции называется формулой Тейлора, а R_n(x) называется остаточным членом формулы Тейлора. Для тех значений х, для которых R_n(x) мало, многочлен P_n(x) дает приближенное представление функции f(x). Следовательно, формула Тейлора дает возможность заменить функцию y = f(x) многочленом y = P_n(x) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена R_n(x).