Идеальный газ. Внутренняя энергия идеального газа. Закон распределения энергии по степеням свободы

Идеальный газ – это модель разреженного газа, в которой пренебрегается взаимодействием между молекулами. Силы взаимодействия между молекулами довольно сложны. На очень малых расстояниях, когда молекулы вплотную подлетают друг к другу, между ними действуют большие по величине силы отталкивания. На больших или промежуточных расстояниях между молекулами действуют сравнительно слабые силы притяжения. Если расстояния между молекулами в среднем велики, что наблюдается в достаточно разреженном газе, то взаимодействие проявляется в виде относительно редких соударений молекул друг с другом, когда они подлетают вплотную. В идеальном газе взаимодействием молекул вообще пренебрегают.

Исходя из определения идеального газа, в нем отсутствует потенциальная составляющая внутренней энергии (отсутствуют силы взаимодействия молекул, кроме ударного). Таким образом, внутренняя энергия идеального газа представляет собой только кинетическую энергию движения его молекул. Ранее (уравнение 2.10) было показано, что кинетическая энергия поступательного движения молекул газа прямо пропорциональна его абсолютной температуре

Используя выражение универсальной газовой постоянной (4.6), можно определить величину константы α

Таким образом, кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа будет определяться выражением

(4.10)

В соответствии с кинетической теорией, распределение энергии по степеням свободы равномерное. У поступательного движения 3 степени свободы. Следовательно, на одну степень свободы движения молекулы газа будет приходиться 1/3 ее кинетической энергии

(4.11)

Для двух, трех и многоатомных молекул газа кроме степеней свободы поступательного движения есть степени свободы вращательного движения молекулы. Для двухатомных молекул газа число степеней свободы вращательного движения равно 2, для трех и многоатомных молекул - 3.

Для любой массы m газа, т.е. для любого числа киломолей внутренняя энергия

(10.12)

Из этого выражения следует, что внутренняя энергия является однозначной функцией состояния и, следовательно, при совершении системой любого процесса, в результате которого система возвращается в исходное состояние, полное изменение внутренней энергии равно нулю. Математически это записывается в виде тождества

Закон

Число степеней свободы - число независимых переменных (координат), которые необходимо задать для определения положения тела в пространстве.

Материальная точка имеет 3 степени свободы (для ее описания необходимо задать 3 координаты, т.е. точка имеет 3 поступательные степени свободы (она может двигаться в 3-х независимых направлениях)).

Две материальные точки (например, молекула, состоящая из двух атомов, и расстояние между ними жестко фиксировано – гантель: ):

(3 степени поступательного движения и две - вращательного движения (относительно осей и на рис.3)). Такая молекула представляет собой твердое тело, момент инерции которого - мал, поэтому оно может вращаться относительно только 2-х осей.

Три и более точек (при фиксированном расстоянии друг от друга - например, твердое тело): (3 поступательного, 3 вращательного движения). Здесь из 9 координат 3 зависимые, и выражаются через другие шесть.

В общем случае

где - число точек,

- число геометрических связей (ограничений).

Так, для одной точки , для 2-х точек - (ограничено движение в одном направлении), для 3-х точек - .

Если две материальные точки связаны, но между ними действует квазиупругая сила, то еще дополнительно появляется колебательная степень свободы (расстояние между точками не фиксировано, колеблется).

Закон равнораспределения: на любую степень свободы молекулы в среднем приходится одинаковая кинетическая энергия, равная (теорема о равнораспределении Максвелла-Больцмана).