Максимум и минимум функции

Приведем точные определения точек экстремума.

Определение. Точка x₀ называется точкой минимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x₀ выполняется неравенство f(x) ≥ f(x₀.

Это наглядно показано на рисунке 1:

рисунок 1

Определение. Точка x₀ называется точкой максимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x₀ выполняется неравенство f(x) ≤ f(x₀.

Это наглядно показано на рисунке 2:

рисунок 2

По определению значение функции f в точке x₀ является наибольшим среди значений функции в окрестности этой точки, поэтому график функции в окрестности x₀ имеет обычно либо вид гладкого холма, либо вид острого пика (рис. 1 а) и б) соответственно).

В окрестности точки минимума графики изображаются в виде загругленной или острой впадины (рис. 2 а) и б) соответственно).

Другие примеры поведения графиков функций в точках максимума и минимума приведены на рисунке ниже:

Слева направо: a - точка максимума; a - точка минимума; каждая точка из промежутка [-1; 0] является как точкой максимума, так и точкой минимума.

Для точек минимума и максимума функции есть общее определение - точки экстремума. Значение функции в этих точках соответственно назывется максимумом или минимумом этой функции. Общее название - экстремум функции. Точки максимума обычно обозначают x_max, а точки минимума - x_min.

Список литературы.

Лит.: И л ь и н В. А., П о з н я к Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1,М., 1971; КудрявцевЛ. <Д., Курс математического анализа, т. 1,2, М., 1981; [3] Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1, М., 1975; [4] Б а х в а л о в Н. С., Численные методы, 2 изд., т. 1, М., 1975. Л. Д. Кудрявцев.