Первичное описание исходных данных

Метрические данные можно представить в виде ряда значений, называемого статистической совокупностью (массивом). Каждый член этой совокупности, в свою очередь называется вариантой. Массив заключается в фигурные скобки. Если среди вариант есть десятичные дроби, то варианты должны разделяться между собой точкой с запятой. Если все варианты – целые числа, их можно разделять запятыми. Массивы бывают упорядоченные и неупорядоченные.

Также для первичного описания исходных данных используются таблицы, вариационные ряды и графики.

Результаты исследования репрезентативной выборки можно подвергать анализу с использованием математических методов. Для этого необходимо специальное оформление (представление) результатов опыта. Наиболее востребованным и часто применяемым является метод представления результатов опыта в виде вариационного ряда.

Вариационный ряд – это таблица, отображающая зависимость между видами исходов проводимого опыта и количествами тех или иных исходов.

Рассмотрим следующий эксперимент. Тридцати студентам был задан следующий вопрос: «Какое чувство наиболее ярко проявляется (ощущается) Вами в момент сдачи важного экзамена?» В результате вопроса были получены такие варианты ответов: «страх», «подавленность», «волнение», «растерянность», «ничего не чувствую», «эмоциональное возбуждение». Т.е. в данном эксперименте опытом является опрос. Разновидности исхода опыта – это различные ответы испытуемых. Чтобы составить вариационный ряд, необходимо знать, сколько человек дали тот или иной ответ. Если «страх» испытывают 5 человек, «подавленность» - 2 человека, «волнение» - 14 человек, «растерянность» - 4 человека, «ничего не чувствуют» - 2 человека, а «эмоциональную возбуждение» - 3 человека, то искомая таблица будет выглядеть следующим образом:

Исход опыта	Страх	Подав-ленность	Волнение	Расте-рянность	Ничего не чувствуют	Эмоци-ональное возбуждение
Количество исходов

Построенная таблица отражает результаты проделанного опыта. При этом для математической обработки результата, как правило, необходимо представить исходы опыта в числовом виде. Например, испытываемые чувства можно пронумеровать и в таблице вместо их словесной формулировки записать соответствующие номера.

В некоторых исследованиях исходы опыта выражаются числами, а значит, искусственное числовое представление вариантов не требуется.

В классе провели тестирование по определению уровня доверия учащихся друг к другу. Уровень доверия определяется по 10-балльной шкале. Результатом исследования стали следующие данные: уровень доверия, равный 1, определился у 1 человека, равный 2 – у 3 человек, равный 4 – у 6 человек, равный 6 – у 9 человек, равный 8 – у 4 человек, равный 10 – у 2 человек.

Запишем полученные результаты в виде вариационного ряда, где имеют место следующие варианты: 1, 2, 4, 6, 8 и 10 баллов. Получим следующую таблицу:

Вариант
Количество испытуемых

Для удобства при использовании математических методов исследования элементы множества значений выборки (варианты исхода опыта) обозначают через x_i. В рассматриваемом примере их можно обозначить: x₁=1, x₂=2, x₃=4, x₄=6, x₅=8, x₆=10. Количества испытуемых, соответствующих тому или иному варианту, называют частотами данных вариантов. Обычно частоты обозначаются через n_i. Например, для варианта x₃=4 частота n₃ равна 6. При этом общее количество испытуемых, принявших участие в исследовании, называется объёмом выборки, который находится как сумма всех частот и обозначается буквой n. В данном случае n=1+3+6+9+4+2=25.

Для того чтобы показать, какую долю от всего объёма выборки представляет тот или иной вариант, используется понятие относительной частоты.

Относительные частоты обозначаются через f_i и определяются как отношение соответствующей частоты n_i к объёму выборки n, т.е. f_i = n_i / n.

Таблица, отображающая зависимость между вариантами x_i и относительными частотами f_i называется статистическим рядом.

Важно заметить, что в вариационном и статистическом рядах варианты принято располагать в порядке возрастания. Сумма относительных частот статистического ряда всегда равна единице: , где k – количество различных вариантов.

Составим статистический ряд для рассмотренного опыта с изучением уровня доверия школьников друг к другу.

Для решения поставленной задачи достаточно разделить соответствующие значения частот на объём выборки n =25. Например, f₁ = n₁ / n=1/25=0.04; f₂ = n₂ / n =3/25=0,12. и т.д. В результате получим следующий статистический ряд:

Вариант xi
Относительная частота fi	0.04	0.12	0.24	0.36	0.16	0.08

Убедимся, что .

Иногда для лучшей иллюстрации результатов исследования используют полигон частот.

Под полигоном частот выборкипонимают ломаную линию с вершинами в точках (x_i; m_i). Используют также полигон относительных частот выборки, для которого вершины ломаной имеют координаты (x_i; f_i).

Построим полигон относительных частот для изучения уровня тревожности (по 100-балльной шкале), по следующим результатам:

xi (Тревожность, баллы)
ni (Количество испытуемых, чел.)

Найдём сначала объём выборки: n=2+3+5+10+10+7+5+5+2+1=50. Далее построим статистический ряд. Для этого найдём относительные частоты f_i = n_i / n.

xi (Тревожность)
fi (Относительная частота)	0.04	0.06	0.1	0.2	0.2	0.14	0.1	0.1	0.04	0.02

Теперь можно построить полигон относительных частот.

Помимо полигона частот для иллюстрации результатов опыта используются также столбчатые и круговые диаграммы.

Столбчатая диаграмма строится аналогично полигону частот. Отличие заключается в том, что вместо отрезков изображаются прямоугольники соответствующей высоты.

На круговой диаграмме вариант отображается в виде сектора, градусная мера угла которого равна . Рассчитаем градусные меры секторов, соответствующих тем или иным частотам:

xi (Тревожность)
fi (Относительная частота)	0.04	0.06	0.1	0.2	0.2	0.14	0.1	0.1	0.04	0.02
Градусная мера сектора	14.4	21.6				50.4			14.4	7.2

Таким образом, круговая диаграмма будет иметь вид:

Помимо диаграмм для наглядного представления результатов, а также для установления аналога с классическим законом распределения, используется гистограмма, для чего вводится понятие плотности относительной частоты.

Плотность относительной частоты равна отношению суммы частот соответствующего интервала к произведению общего объёма выборки n и длины h_i соответствующего интервала. Т.е. плотность относительной частоты вычисляется следующим образом: n_i / (n*h_i).

Пусть результаты теста записаны в таблице:

Результат теста (в баллах) (интервалы)	Количество испытуемых (чел.), ni	Плотность относительной частоты
Менее 3 баллов
От 3 до 4 баллов
От 4 до 5 баллов
От 5 до 6 баллов

Построим гистограмму результатов тестирования, для чего потребуется нахождение п лотности относительной частоты. Она рассчитывается следующим образом. Сначала необходимо узнать объём n всей выборки, т.е. количество участников тестирования.

n=2+8+15+5=30.

Для каждого интервала находим его длину h_i:

h₁=3-0=3, h₂=4-3=1, h₃=5-4=1, h₄=6-5=1.

Для построения гистограммы выборки воспользуемся прямоугольной декартовой системой координат. По оси абсцисс отметим имеющиеся интервалы: от 0 до 3, от 3 до 4, от 4до 5 и от 5 до 6. Сопоставим каждой абсциссе из выбранного интервала ординату, равную соответствующей плотности относительной частоты (см. рисунок). В качестве графика получим отрезки, параллельные оси абсцисс. Для наглядности эти отрезки можно достроить до закрашенных прямоугольников. При этом площадь каждого полученного прямоугольника будет численно равна соответствующей относительной частоте. Поэтому вся площадь закрашенной фигуры будет равна единице. Таким образом, мы получим графическое отображение относительных частот выборки.

При построении гистограммы мы опирались на данные, записанные в таблице с помощью интервального метода. Если выборка имеет сравнительно большой объём или содержит большое количество различных вариантов, то могут возникнуть трудности вычислительного характера. Для решения этой проблемы и применяется метод интервалов.

Суть метода интервалов заключается в разбиении множества значений измеряемой величины на интервалы. Тогда выборка записывается следующим образом:

Измеряемая величина xi			…
Частота ni	n1	n2	…

Такая запись означает, что выборка содержит n₁ значений величины x_i таких, что , n₂ значений величины x_i таких, что . Выборку можно представить в виде любого количества интервалов.

Подытоживая сказанное, заметим, что для организации педагогических исследований с помощью математических методов изначально полученную в результате опыта информацию необходимо представить в виде вариационного или статистического ряда. Для наглядности вариационный и статистический ряды изображаются при помощи диаграмм, полигонов частот или гистограмм.

Зная, как можно представить результаты эксперимента для их математической обработки, целесообразно перейти непосредственно к рассмотрению математических методов.