Гармонический осциллятор

В классической физике гармоническим осциллятором называют частицу, совершающую движения по закону синуса или косинуса. Потенциальная энергия такой частицы U = кх²/2, частота колебаний . Посмотрим, к каким результатам приведет решение уравнения Шрёдингера (a), если его применить к одномерной частице, которая обладает такой потенциальной энергией.

уравнение Шрёдингера для гармонического осциллятора Т.к. случай одномерный, оператор Лапласа D y = d²y / dx², потенциальная энергия U = кх²/2.

Мы не приводим решение этого уравнения, т.к. оно выходит далеко за рамки курса. [xv] Из решения следует, что полная энергия Е такого осциллятора квантуется:

	Полная энергия квантового осциллятора n = 0, 1, 2,…,¥
при n = 0	Эта величина называется нулевой энергией осциллятора.

По классическим представлениям при Т ® 0 К энергия должна стремиться к 0, решение уравнения Шрёдингера приводит к выводу о существовании нулевой энергии;

даже при абсолютном нуле (Т = 0 К) частица имеет энергию ¹ 0.

На рис. показаны плотности вероятности при различных энергиях Е осциллятора. Если мы спросим себя, а как ведет себя частица, ведь нам всегда хочется наглядно представить процессы. Ответ – не знаем, ведь квантовый объект имеет двойственную природу. Мы можем только сказать, что частица находится в потенциальной яме, имеет определенный набор энергий и, если ее энергия равна, например Е₁, то вероятность обнаружить ее в середине ямы равна нулю. При переходе на другой уровень энергия частицы меняется дискретно, и система поглощает или испускает порцию энергии hn.

Существование нулевой энергии следует также из соотношения неопределенности. Действительно.

	соотношение неопределенностей
D х» А	неопределенность в координате примем равной амплитуде А колебаний
D р» р = mv = mw А	неопределенность в импульсе примем равной самому импульсу; максимальная скорость колебаний v = w А
	Е - максимальная энергия гармонических колебаний (Е =кх² /2, )