Квантование энергии

1.1 Частица в бесконечно глубокой потенциальной яме

Модель представляет собой частицу, заключенную между двумя абсолютно непроницаемыми для нее стенками это эквивалентно движению в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Пусть ширина ямы равна b, а масса частицы m. Вне ямы частицу застать нельзя.

Из граничных условий, налагаемых волновую функцию, следствие –– модуль импульса частицы p=ћk может принимать только дискретный ряд значений:

(1)

где n принимает только целые значения: 1, 2, 3,... Полная энергия частицы E равна кинетической энергии, поэтому

(2)

Энергетический спектр дискретный.

Задача 1. Как изменятся выражения (1)и (2), если ширина ямы равна не 2b, а b?

Задача 2. Частица массы m находится в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме ширины b в стационарном состоянии на энергетическом уровне №n. Найдите силу, с которой частица при этом давит на стенки ямы.

Решение. При изменении параметра b энергия каждого уровня изменяется. Сила направлена в сторону убывания энергии и равна минус производной от энергии по координате стенки ямы:

(3)

Сила давления растет при сжатии ямы и с ростом номера уровня.

Задача 3. Волна амплитуды вероятности частицы в трехмерном потенциальном ящике размером Lx ´ Ly ´ Lz имеет волновой вектор с компонентами kx, ky, kz. Задача об описании состояний частицы в таком ящике распадается на три независимые одномерные задачи, решенные на настоящем занятии.
а) Найдите разрешенные значения проекций волнового вектора частицы.
б) Как выглядит энергетический спектр частицы?
Подсказка. Независимые задачи об одномерном движении: вдоль оси OX, вдоль оси OY, вдоль оси OZ.