Рассмотрим теперь способ решения задачи выпуклого программирования в случае ограничений неотрицательности и ограничений в виде равенств

(3.12)

Задача имеет вид

Z = f (x₁,x₂,…, x_n) max,

(3.13)

₁(x₁,x₂,…, x_n) = ₁,

₂(x₁,x₂,…, x_n) = ₂,

- - - - - - - - - - - - - - -

(3.14)

_m(x₁,x₂,…, x_n) = _m,

x_j ≥ 0, j=1,2,…,n.

Вновь для решения задачи применим метод множителей Лагранжа.

Составим функцию Лагранжа

(x₁,x₂,…, x_n, λ₁, λ₂,…, λ_m) = f (x₁,x₂,…, x_n) + ₁ [b₁ - ₁(x₁,x₂,…, x_n)].

(3.15)

Нахождение экстремума функции (3.12) при условии (3.13) и (3.14) сводится к нахождению экстремума функции Лагранжа при ограничениях неотрицательности, то есть к решению задачи ВП при ограничениях неотрицательности. Такие задачи мы уже рассматривали. Необходимое условие экстремума функции будет записываться так:

(3.16)

x_j = 0, j=1,2,…,n,

λ_i =0, i=1,2,…,m.

Запишем условие (3.15) в развернутом виде (случай задачи на максимум):

(3.17)

если x_j 0, то = 0; если x_j 0,то ≤ 0;

или, если x_j 0, то - i = 0; если x_j 0, то - i ≤ 0.

Что касается условия (3.16), то относительно λ_i оно является тождеством. Действительно

λ_i = λ_i (b_i - _i(x₁,x₂,…, x_n)) = 0.

Согласно условию задачи ₁(x₁,x₂,…, x_n)=b_i,поэтому λ_i (b_i - _i(x₁,x₂,…, x_n)) = 0

Условия b_i - _i(x₁,x₂,…, x_n) добавляются к условиям (3.17). Получившаяся система n+m неизвестными позволит решить задачу (3.12)-(3.14).