Несколько усложняется решение задачи выпуклого программирования в случае ограничений в виде неравенств и ограничений неотрицательности

Задача ВП в данном случае имеет вид

(3.28)

Z = f (x₁,x₂,…, x_n) max,

(3.29)

₁(x₁,x₂,…, x_n) = ₁,

₂(x₁,x₂,…, x_n) = ₂,

- - - - - - - - - - - - - - -

(3.30)

_m(x₁,x₂,…, x_n) = _m,

x_j ≥ 0, j=1,2,…,n.

(3.31)

Для отыскания точки условного экстремума задачи (3.28)-(3.29) следует исходить из следующих условий

(3.32)

= 0, j=1,2,…,n,

_i ≥0, _i =0, ≥0,

где - функция Лагранжа вида

= f (x₁,x₂,…, x_n) + _i (b _i - _i (x₁,x₂,…, x_n)).

Если принять во внимание условие неотрицательности x_j ≥ 0, j=1,2,…,n, то вместо равенств (3.31) следует пользоваться равенствами

x_j = 0, где x_j ≥ 0, ≤ 0.

С учетом вида функции Лагранжа условия нахождения точка условного максимума задачи (3.28)-(3.30) можно будет записать так:

I группа условий:

- i ≤ 0,

( - i ≤ 0)x_j = 0,

x_j ≥ 0, j=1,2,…,n;

II группа условий:

b_i - _i (x₁,x₂,…, x_n)≥0,

_i ( _i (x₁,x₂,…, x_n) - b₁) = 0,

x_j ≥ 0, i=1,2,…,m.

Условия I и II называются условиями Куна -Таккера. Из совокупности этих условий выделим для более глубокого рассмотрения следующие отношения.