Модели механической подсистемы

Механическая подсистема включает элементы конструкции, которые участвуют в передаче и преобразованиях механической энергии. Свойства элементов механической подсистемы: масс, пружин, трения определяются в их компонентных уравнениях. При макромоделировании рассматривают поступательное и вращательное движение твердых тел, не имеющих пространственных размеров, т.е. материальные точки [12].

В механике поступательного движения в качестве фазовых переменных используют силу и скорость . Причем в зависимости от того, какая из них принимается за переменную типа потока, а какая за переменную типа потенциала, получаем различные модели, одинаково пригодные для анализа.

В прямой модели механической поступательной подсистемы (рис. 1.22, а) в качестве переменной типа потока выбрана сила , переменной типа потенциала — скорость . Здесь тело массой m под действием силы P скользит по горизонтальной поверхности с коэффициентом вязкого трения k _тр, преодолевая упругую силу пружины, имеющую жесткость k _у.

а) б) в)

Рис. 1.22. Кинематическая (а) и эквивалентные схемы (б,в) механического узла поступательного движения.

Законы функционирования механической подсистемы выражаются уравнениями, связывающими силы и скорости на элементах: механическом резисторе , механической индуктивности и механическом конденсаторе .

Из закона вязкого трения (сила трения прямо пропорциональна скорости движения): , где — коэффициент вязкого трения, v - относительная линейная скорость трущихся деталей, следует, что для сохранения подобия в системе по критерию сопротивление механического резистора должно определяется соотношением . Для механической подсистемы критерий . В более общем случае сила трения имеет сложную зависимость от скорости движения (см. рис. 1.23) и содержит следующие составляющие: силу трения трогания , сухое трение (не зависит от скорости), вязкое трение пропорциональное скорости (трение Кулона) и переходную зону уменьшения силы трения после трогания (трение Штрибека).

Рис. 1.23. Зависимость силы трения от скорости движения в общем случае.

Суммарную силу трения аппроксимируют следующей функцией [26]:

.

Свойства упругого элемента — пружины, отражает закон Гука: , где — жесткость пружины, — перемещение. Или после дифференцирования по времени: . По критерию механическая индуктивность должна быть коэффициентом пропорциональности между скоростью и производной силы, т.е. , где . Критерий подобия или .

Второй закон Ньютона представляет собой уравнение для массы , где массу тела как коэффициент пропорциональности между силой и производной скорости для сохранения подобия по критерию необходимо обозначить механическим конденсатором с емкостью . Критерий подобия для механического конденсатора .

В прямой модели поступательного движения источниками фазовых переменных будут силы — аналог источника тока в электрической цепи и источник скорости — аналог источника ЭДС.

Пример эквивалентной схемы прямой модели механического узла рис. 1.22, а показан на рис. 1.22, б.

Обращенная модель механической поступательной подсистемы обосновывается для фазовых переменных типа потока — скорость , и типа потенциала — сила . Тогда для сохранения прежних критериев подобия получаем: для вязкого трения , где сопротивление механического резистора , для пружины , где емкость механического конденсатора , для массы , где механическая индуктивность . В обращенной модели поступательного движения источниками фазовых переменных будут силы — аналог источника ЭДС в электрической цепи и источник скорости — аналог источника тока.

Пример эквивалентной схемы обращенной модели механического узла рис. 1.22, а показан на рис. 1.22, в.

Прямая модель вращательного движения (рис. 1.24, а) составляется с фазовыми переменными: типа потока — момент сил и типа потенциала — угловая скорость . На рисунке изображено телос моментом инерции J, которое под действием момента М вращается в подшипниках с коэффициентом вязкого трения , преодолевая упругую силу пружины кручения, имеющую угловую жесткость .

Момент вязкого трения вращательного движения определяется соотношением , где сопротивлениемеханического резистора , - относительная угловая скорость трущихся деталей. Критерий подобия для этого элемента . В более общем случае зависимость силы трения вращения от угловой скорости имеет аналогичный рис. 1.23 вид при замене силы на момент, линейной скорости на угловую:

.

а)

б) в)

Рис. 1.24. Кинематическая (а) и эквивалентные схемы (б, в) механического узла вращательного движения.

Закон Ньютона вращательного движения , где — момент инерции записывается по условиям подобия через емкость механического конденсатора: , где . Критерий подобия .

Спиральные пружины представляют упругие элементы в моделях вращательного движения. Для них справедливо уравнение , где — угол закручивания. После дифференцирования, принимая во внимание, что , получаем из условий подобия . Механическая индуктивность , а критерий подобия .

В прямой модели вращательного движения источниками фазовых переменных будут моменты — аналоги источников тока в электрической цепи и источники скорости — аналоги источников ЭДС.

Запись обращенной модели вращательного движения с фазовыми переменными типа потока — угловая скорость и типа потенциала — момент , дает следующие выражения для элементов: , , , при условии сохранения критериев подобия прямой модели. В обращенной модели вращательного движения источниками фазовых переменных будут моменты — аналоги источников ЭДС в электрической цепи и источники скорости — аналоги источников тока.

Примеры эквивалентных схем механического узла вращательного движения приведены на рис. 1.24, б, в.

В механических подсистемах электрических аппаратов имеются упоры и люфты. Упор ограничивает перемещение, и в идеальном приближении может быть представлен координатной точкой, в которой скорость движения становится равной нулю, а перемещение остается неизменным до начала движения в обратном направлении. Более точное воспроизведение процессов в механическом упоре может быть получено заменой упора нелинейной пружиной с внутренним трением. Свойства пружины – упора в виде зависимости жесткости от перемещения приведены на рис. 1.25, а. В момент касания упора в точке наступает резкое увеличение жесткости до достижения в точке полного контакта с максимальной жесткостью

а) б)

Рис. 1.25. Моделирование упора, люфта и сухого трения: а - упор; б – люфт.

Люфт в механическом соединении подвижных деталей представляют как два расположенных с малым зазором упора и моделируют нелинейной пружиной с характеристикой жесткости, представленной на рис. 1.25, б. При положительном перемещении в точке происходит касание и в точке полный контакт деталей. При отрицательном перемещении аналогичные точки обозначены и . Расстояние равно размеру люфта.