Основы теории погрешностей

На процесс измерения и получение результата измерения оказывает воздействие множество факторов: характер измеряемой величины, качество применяемых средств измерений, метод измерений, условия окружающей среды (температура, влажность, давление и др.), индивидуальные особенности оператора (специалиста, выполняющего измерения) и др. Поэтому результат измерений будет отличаться от истинного значения измеряемой величины.

Отклонение результата измерений от истинного значения измеряемой величины называют погрешностью измерения. Это теоретическое определение, так как истинное значение величины неизвестно. При метрологических работах вместо истинного значения используют действительное, за которое принимают обычно показание эталонов. В практической деятельности вместо истинного значения используют ее оценку, например, действительное значение измеряемой величины.

Абсолютная погрешность (Δ) является разностью между измеренным (X) и действительным (Q) значениями физической величины. С другой стороны, абсолютная погрешность является суммой систематической (Θ) и случайной (δ) погрешностей. Абсолютная погрешность имеет ту же размерность, что и измеряемая величина.

Относительная погрешность (ε) – это отношение абсолютной погрешности к истинному (действительному, или измеренному) значению. Она может измеряться в долях единицы или в процентах. В последнем случае отношение необходимо умножить на 100%.

Приведенная погрешность (K) – это отношение абсолютной погрешности к нормировочному множителю, в качестве которого может выступать диапазон измерений. Разновидностью приведенной погрешности, выраженной в процентах максимальной абсолютной погрешности от диапазона измерений, является класс точности прибора.

Таблица 1. Классификация погрешностей

Параметр классификации	Виды погрешностей	Обозначение, расчетная формула
Тип (Форма числового выражения)	Абсолютная	Δ = X – Q Δ = Θ + δ
Относительная	ε = (Δ / Q) (´ 100%)
Приведенная	K = (Δ / KНОРМ) (´ 100%) К = ΔMAX / (QMAX – QMIN)
Вариация	V = X­ – X¯ V = R + G
Источник возникновения	Погрешность средств измерения (инструментальная)
Погрешность метода измерения (методическая)
Субъективная погрешность оператора
Условия проведения измерений
Характеристика процесса во времени	Статическая
Динамическая
Вероятность возникновения	Систематическая	Θ
Случайная	δ
Грубая
Условия нормировки	Основная
Дополнительная
Способы устранения	Устранимая
Неустранимая

Вариация (V) – это разность показаний прибора в одной и той же точке на прямом (X_­) и обратном (X_¯)ходу, т.е. при подходе к одной и той же точке со стороны меньших и со стороны больших значений. Вариация показаний включает в себя размах (R) и погрешность обратного хода (G).

Непостоянство или размах (R) показаний прибора – это разность между наибольшим и наименьшим из показаний измерительного прибора, соответствующих одному и тому же значению измеряемой величины.

Погрешность обратного хода (G) возникает из-за зазоров и трения в сочленениях подвижных деталей механизмов прибора и других гистерезисных явлений, свойственных его элементам.

Еще одной важной характеристикой измерительного прибора является порог реагирования (чувствительности). Под порогом реагирования понимается изменение измеряемой величины, вызывающее наименьшее изменение показаний измерительного прибора, которое еще может быть обнаружено наблюдателем при нормальном для данного прибора способе отсчета показаний.

Причинами возникновенияпогрешностей являются:

– несовершенство методов измерений;

– несовершенство технических средств, применяемых при измерениях;

– особенности органов чувств наблюдателя;

– условия проведения измерений.

Таким образом, погрешность средства измерения обусловлена несовершенством средств измерения, погрешность метода измерения – несовершенством метода измерения. Различные наблюдатели по разному воспринимают цвета и звуки, пользуются одним и тем же прибором индивидуальным образом. На чувствительность наблюдателя влияют условия проведения измерений (температура, давление и влажность воздуха, вибрация в помещении и другие факторы).

Условия проведения измерений проявляются двояко:

– Все физические величины, играющие роль при проведении измерений, в той или иной степени зависят друг от друга. Поэтому с изменением внешних условий изменяются истинные значения измеряемых величин.

– Условия проведения измерений влияют на характеристики средств измерений и физиологические свойства органов чувств наблюдателя и через их посредство становятся источником погрешности измерения.

Погрешности методов измерения бывают следующими:

– неправильный выбор модели объекта;

– функциональная (для косвенных методов);

– вычислительная;

– машинная (погрешность округлений, связанная с разрядностью сетки вычислительного устройства);

– субъективная и другие.

Формулы для расчета вычислительной погрешности:

(Х₁ ± ΔХ₁) + (Х₂ ± ΔХ₂) = (Х₁ + Х₂) ± (ΔХ₁ + ΔХ₂)

(Х₁ ± ΔХ₁) – (Х₂ ± ΔХ₂) = (Х₁ – Х₂) ± (ΔХ₁ + ΔХ₂)

(Х₁ ± ΔХ₁) ´ К = К ´ Х₁ ± К ´ ΔХ₁

(Х₁±ΔХ₁)´(Х₂±ΔХ₂) = (Х₁´Х₂) ± (ΔХ₁´Х₂ + ΔХ₂´Х₁ + ΔХ₁´ΔХ₂) ≈

≈ (Х₁ ´ Х₂) ± (ΔХ₁ ´ Х₂ + ΔХ₂ ´ Х₁)

1 / (Х₁ ± ΔХ₁) = 1/Х₁ ± ΔХ₁ / (Х₁ ´ (Х₁ ± ΔХ₁)) ≈ 1/Х₁ ± ΔХ₁ / (Х₁²)

F(X₁ ± ΔХ₁, X₂ ± ΔХ₂, …, X_N ± ΔХ_N) = F (X₁, X₂, …, X_N) ± ΔF, где

ΔF = ΔF(X₁ ± ΔХ₁, X₂ ± ΔХ₂, …, X_N ± ΔХ_N) =

=

Последняя формула определяет погрешность функции, зависящей от N параметров, каждый из которых задан с собственной погрешностью.

Если измеряемая величина не меняет своего значения в процессе измерений, то сама величина и ее погрешность являются статическими. Если измеряемая величина изменяется в процессе измерений или происходит измерение переменной величины, то сама величина и ее погрешность являются динамическими.

Систематическая погрешность (Θ) остается постоянной или изменяется по определенному, известному нам, закону при повторных измерениях одной и той же величины. Если известны причины, вызывающие ее появления, то ее можно обнаружить и исключить из результатов измерений.

Случайная погрешность (δ) изменяется случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. В отличие от систематической ее нельзя исключить из результатов измерений. Однако ее влияние может быть уменьшено путем применения специальных способов обработки результатов измерений, основанных на положениях теории вероятности и математической статистики. Случайные погрешности измерительных средств обязаны своим возникновением случайным изменениям параметров, являются случайной функцией времени, измеряемых параметров и влияющих величин. Для оценки случайной погрешности рассматривают среднее арифметической показаний прибора и дисперсию отклонений.

Грубая погрешность (промах) сильно отличается от среднестатистической погрешности. При статистической обработке данных промахи не обрабатывают.

Рассмотрим основные разновидности систематических погрешностей средств измерений. Назовем статической характеристикой измерительного прибора зависимость между математическим ожиданием его показаний и истинным значением измеряемой величины: m_X = f(Q). Тогда систематическую погрешность в функции измеряемой величины можно представить в виде разности математических ожиданий показаний m_X = f(Q) реального и m_X0 = f₀(Q) идеального, т.е. лишенного систематических погрешностей, измерительных приборов: Θ = m_X – m_X0 = f(Q) – f₀(Q)

Тогда результатом проявления технологических погрешностей являются следующие виды смещения статической характеристики, т.е. разновидности систематических погрешностей:

А) Поступательное смещение статической характеристики относительно характеристики идеального прибора и возникновение погрешности, постоянной в каждой точке шкалы. Эта погрешность называется аддитивной (рис. 1.1а).

Б) Поворот статической характеристики и появление погрешности, линейно возрастающей или убывающей с ростом измеряемой величины. Такая погрешность называется мультипликативной (рис. 1.1б).

В) Нелинейные искажения статической характеристики (рис. 1.1в).

Г) Появление погрешности обратного хода, выражающееся в несовпадении статических характеристик прибора при увеличении и уменьшении значений измеряемой величины (вариация показаний) (рис. 1.1г).

Для устранения систематической погрешности вводят поправку. Поправка по знаку противоположна погрешности. При введении поправки учитывают вид погрешности. Аддитивные погрешности устраняют вычитанием поправки.

а) б)

в) г)

Рис. 1.1. Смещение статической характеристики

измерительного прибора