Основные положения линейной теории разделения сигналов

Рассмотрим теперь основные свойства сигналов при независимой передаче информации в системах многоканальной связи.

Чтобы разделяющие устройства могли различать сигналы отдельных каналов, у сигналов должны быть определенные признаки, присущие только сигналу данного канала. Такими признаками могут быть параметры переносчика (несущего колебания). Например, амплитуда, частота или фаза при модуляции синусоидального переносчика; временное положение, длительность или форма сигнала при модуляции импульсного переносчика. Соответственно будут различаться и способы разделения сигналов: частотный, временной, фазовый, разделение по форме сигналов и др.

Пусть необходимо организовать одновременную и независимую работу N индивидуальных каналов по общему групповому тракту. Будем считать, что групповой тракт может обеспечить передачу сигналов любого i -го канала. Предположим, что сигнал i -го канала имеет вид

(11.1)

где С_i - некоторый коэффициент, отображающий передаваемое сообщение;

- некоторая функция переносчика.

Сумма канальных сигналов образует групповой сигнал

(11.2)

После преобразования группового сигнала в линейный сигнал u_л(t), последний поступает в тракт передачи. На приемной стороне линейный сигнал s_л(t) вновь преобразуется в групповой сигнал s_Г(t), т.е. в вид, удобный для выполнения операции разделения сигналов.

Для разделения N канальных сигналов на приемной стороне потребуется N разделяющих устройств, действие каждого из них будем описывать оператором разделения . В идеальном случае k -ое разделяющее устройство должно реагировать только на сигнал k -го канала s_k(t) и не реагировать (давать нулевые отклики) на сигналы всех других каналов. Чтобы приемное устройство П _k было “чувствительным” только к сигналам s_k(t), необходимо:

(11.3)

Необходимым и достаточным условием разделимости канальных сигналов является условие линейной независимости канальных сигналов. Оно заключается в том, что тождество

(10.4)

может выполняться в том единственном случае, когда все коэффициенты С₁, С₂,…С_N одновременно равны нулю. Физически это означает, что ни один из канальных сигналов не может быть образован суммой других канальных сигналов.

Физический смысл полученных выражений сводится к тому, что приемник П _k обладает избирательными свойствами по отношению к сигналам s_k(t). Так как действие приемников П _k описывается линейным оператором , то в этом случае устройства разделения реализуются линейными цепями, а соответствующую теорию разделения называют линейной.

Впервые определение избирательных свойств приемника в виде соотношений (11.3) было предложено в 1935 г. Д. В. Агеевым, который доказал, что необходимым и достаточным условием разделимости канальных сигналов линейными устройствами является условие линейной независимости.

В общем случае необходимым и достаточным условием линейной независимости ансамбля сигналов является отличие от нуля определителя Грама [1]:

, (11.5)

где - скалярное произведение сигналов и . Определитель Грама равен нулю, если функции , , …, линейно зависимы, и положителен для линейно независимых функций. Он равен произведению квадратов норм функций и , если они попарно ортогональны. Свойство ортогональности функций и :

(11.6)

С позиций геометрических представлений условие (11.6) означает, что переносчики и а, следовательно, и сигналы и должны занимать неперекрывающиеся области в пространстве сигналов.

Для ортогональных сигналов действие оператора разделения сводится к перемножению принимаемого группового сигнала на опорную функцию переносчика [3]. Частным случаем ортогональных сигналов являются сигналы с неперекрывающимися спектрами и неперекрывающиеся во времени сигналы.