Краткое содержание лекции

1.Первообразная. Неопределенный интеграл его свойства.

Определение. Пусть функция определена на некотором (конечном или бесконечном) интервале . Тогда функция называется первообразной для функции на интервале , если для всех .

Зная только одну первообразную для функции , находим множество всех первообразных для этой функции, которое совпадает с множеством функции вида , где С -произвольная постоянная.

Обозначения: .

Основные свойства неопределенного интеграла:

1⁰. ; 2⁰.

3⁰.

4⁰.

5⁰. Если , то .

2. Основные формулы интегрирования.

Следующие интегралы обычно называются табличными интегралами:

1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6. 12.

2. Интегрирование посредством разложения подынтегральной функции на слагаемые.

Рассмотрим этот метод на примере:

Пример 1.

3. Интегрирование посредством замены переменной.

Пусть требуется вычислить интеграл , при этом функции и непрерывны на заданном интервале. Тогда этот интеграл можно упростить с помощью подстановки , используя равенство

. Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

4. Интегрирование по частям.

Пусть производные функций и существуют и непрерывны на заданном интервале. Тогда имеет место равенство:

.

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.