Многоканальные СМО с ожиданием

Рассмотрим следующую СМО с простейшими потоками заявок λи обслуживания μ: поступившая заявка может обслуживаться любым свободным каналом; если все п каналов заняты, поступившая заявка становится в очередь и ждёт своего обслуживания. Будем считать, что число мест в очереди неограниченно, причем заявка, вставшая в очередь раньше, и будет обслуживаться раньше.

Подобные системы называют СМО с ожиданием. В этих системах общее число заявок, находящихся в системе, складывается из обслуживаемых заявок и заявок, находящихся в очереди. Поэтому СМО с ожиданием можно характеризовать следующим бесконечным множеством состояний:

S ₀ – все n каналов свободны, в системе нет заявок и нет очереди;

…

S _k – занято каналов, обслуживается k заявок, очереди нет;

…

S _n – заняты все n каналов, обслуживается n заявок, очереди нет;

S _n+1 – заняты все n каналов, обслуживается n заявок, одна заявка в очереди;

…

S _n+_r – заняты все n каналов, обслуживается n заявок, r заявок в очереди;

…

Граф состояний и переходов СМО с ожиданием имеет следующий вид:

Рисунок 2

Стационарное состояние системы описывается бесконечной системой алгебраических уравнений относительно вероятностей p_k и p_n₊_r. Эта система формируется по графу состояний и переходов:

, где

Первые n уравнений системы совпадают с n уравнениями для СМО с отказами и поэтому имеют решение в виде формул Эрланга:

Остальные вероятности определяются по формуле:

Вероятность p ₀ находится из нормировочного условия и равна:

Показатели функционирования СМО:

- вероятность того, что все каналы свободны: ;

- вероятность того, что все каналы заняты: ;

- вероятность того, что все каналы заняты и r заявок находится в очереди:

- среднее число заявок в очереди: ;

- среднее время ожидания заявки в очереди: ;

- среднее число каналов, свободных от обслуживания: ;

- среднее число каналов, занятых в обслуживании: .

Задание:

Вариант 1: Разработать программу моделирующую состояние многоканальной СМО с отказами. Входными параметрами являются: λ – интенсивность поступления заявок в систему, µ – интенсивность обслуживания, n – количество каналов обслуживания. Выходными параметрами являются: значения вероятностей всех состояний и показатели функционирования СМО.

Указание: параметр n можно задать константой.

Вариант 2: Разработать программу моделирующую состояние многоканальной СМО с ожиданием. Входными параметрами являются: λ – интенсивность поступления заявок в систему, µ – интенсивность обслуживания, n – количество каналов обслуживания и r – длина очереди. Выходными параметрами являются: значения вероятностей всех состояний и показатели функционирования СМО.