Четыре основные проблемы математики

Математическая действительность допускает формулировку следующих 4 проблем общего онтологического характера:

1. Проблема реальности существования в математике образующих «начал», например, натурального ряда чисел или одного из его элементов (ответ Р. Дедекинда на данный вопрос – отрицательный, какие бы то ни было «начала» для представляющей собой «непрерывность» смешанной величинно-типологической системы фактически искусственны).

Реальность математической деятельности такова, что подавляющее большинство математических концепций, фактически за исключением сформулированной Р. Дедекиндом, понимает математическую систему обладающей онтологическим признаком конституируемости. Именно в подобном смысле можно понимать многочисленные попытки выражения начальных констуитивов математической условности, отвечающих в дальнейшем построении за образование сущностей второго порядка. Если же на данный вопрос ответить «в духе» выраженной Р. Дедекиндом идеи «непрерывности» величинной среды, то сама собой первая проблема философии математики утрачивает спекулятивное содержание, сохраняя только принципиальное, определяя при этом в качестве сферы разрешения спекулятивных вопросов третью и четвертую проблемы философии математики. Во всяком случае, при очевидном «донкихотстве» фактически противопоставленного всей остальной математической традиции подхода Р. Дедекинда, общее отношение к системе математики в целом мыслится познанием либо, с одной стороны, как к объективно допускающей постепенное конституирование, либо, с другой, как к целостно самоданному суббытию. [6]

2. Проблема изотропности и абсолютности математических норм по отношению любой физической позиции (напр., в отношении конкретных пространственной или временной локализации).

Постановка заключающегося в данной проблеме вопроса на первый взгляд может показаться нарочитой. Вряд ли существует физик, способный, например, утверждать, что «в наблюдаемом мною физическом процессе выстраивается совершенно иной ряд натуральных чисел» или «в сверхплотной материи меняются не только физические характеристики, но численное значение основания натурального логарифма». Однако переход к более сложным конструкциям математического описания и попытка определения, например, статуса взаимосвязи «пространства-времени» в формате выделения особых счетных «пространств» часто приводит авторов физических моделей к мысли о локальной изоляции определенных математических зависимостей в определенных физических пределах. Поэтому данная проблема, фактически не располагающая спекулятивным содержанием в случае констатации независимости математического корпуса в целом от какой-либо физической локализации, приобретает его в случае констатации возможности такого рода зависимости. Если остановиться здесь на не предполагающей спекулятивного развития принципиальном понимании независимости математических конструкций от физической локализации, то мы, посредством первой проблемы философии математики относим любое спекулятивное решение о составе математического корпуса к области третьей и четвертой проблем. Здесь следует лишь оговориться, что деятельность человека, даже если мы понимаем ее воплощением духовного начала, в силу неизбежной в ее осуществлении востребованности физических пространства, времени и материи, требует её интерпретации обязательно в качестве физически же локализующего математическую практику фактора. Если мы понимаем математику зависящей от бытования человека, то мы в составе данного представления понимаем ее и зависимой от физических начал. [6]

3. Когнитивная интеграция именных и структурных форм математического описания в человеческом познании в структуры общих форматов интерпретации и средств дескрипции (сюда относятся счисления, историческое развитие математических формализмов, практика методов счета, разделение алгебры и арифметики и т.п.); данная проблема охватывает любые вопросы эффективности человеческого мышления в области оперирования математическими сущностями.

Третью проблему философии математики следует понимать неотъемлемым дополнением первой проблемы, как бы ни была решена нами эта первая проблема, допускай оно только принципиальное, или помимо него, и спекулятивное решение. Кроме того, третья проблема не подразумевает возможности какого бы то ни было принципиального решения. Третья проблема – это сводный предмет различного рода спекулятивных решений, построенных при помощи определяемых уже в решении первой проблемы оснований. Если первая проблема решается в доминирующем в математической традиции «ключе» – область математики понимается конституируемой и сама первая проблема допускает спекулятивное решение, то на долю любых решений третьей проблемы остается получение ответов на вопросы о субъективно определяемых средствах представления математического содержания. Наиболее примитивной из таких задач следует понимать анализ структуры записи чисел, отличие в системах показа цифр, разрядов, порядка счета и т.п. Или же здесь можно говорить о специфике понимания доказательств как представляемых в графической или алгебраической форме, понимании функции как непрерывного процесса и вообще любой проблемы выбора семантического инструментария для отображения собственно величинных или следующих из них проблем.

Если, напротив, первая проблема философии математики решена таким образом, что ни о каком постепенном конституирующем развитии системы математики в целом говорить не приходится, то уже рамки данной третьей проблемы философии математики и будут фактически полностью определять все стороны математического практицирования. В таком случае мы вместо своего рода «истинного» конституирования математической системы обратимся к ее когнитивному конструированию, источником которого служит уже антропно специфическая перцепция. Основываясь на том, что именно в антропной перцепции и следующей из нее семантике представляет собой основания или начала последующей дедукции, мы сможем создать теорию актуализированного конструирования сущностей величинного и комбинационного представления, и составляющих собой собственно «костяк» математики. При этом уже относительно именно специфически свойственных человеку механизмов интерпретации, мы и развитие языка и систематики математического знания будем проецировать на исторически порождаемую актуальную конституцию определенных математических представлений; подобная проекция будет представлять собой историко-эпистемологическую сущность, но отнюдь не объективированную собственно возможностью выделения математического суббытия категорию. Естественно, что одним из главных признаков подобной модели окажется актуалистическая проекция, связывающая текущее состояние развития познания в целом с востребованностью в конструировании подобных моделей аппарата математического представления связей и отношений. В данном случае, скорее всего, будет иметь место концептуализации используемой модели математики как некоторого бесконечно продолжающегося приближения к совершенному представлению о «математической действительности». [6]

4. Проблема внутренней рациональности математики (в частности, вопрос об объективном характере условия «невозможности сокращенного описания истинно случайной последовательности чисел»).

Четвертая проблема философии математики касается понимания возможности некоего гипотетического решения вызывать своего рода математическую «революцию». Положим, в настоящий момент существует понимание факта невозможности получения некоей формулы, позволяющей определять с ее помощью очередное значение простого числа. И далее, неожиданно, посредством доказательства некоторой теоремы простые числа трансформируются в некоторый упорядоченный ряд, что, в свою очередь, влечет изменения не только в теории чисел, но и в некоторых иных математических представлениях. Данный сугубо гипотетический пример приведен нами лишь для иллюстрации, скорее всего, именно на данном направлении математическая «революция» вряд ли ожидаема. Но кроме сугубо гипотетических вещей можно назвать и ряд вполне уже ставших обыденными для математической практики проблем, по существу полностью пересматривающих представления о величинных и, в особенности, спекулятивных конструкциях математики. В частности, здесь следует назвать появление моделей различного рода пространственных структур, носящих имя «неевклидовых пространств». Предмет появления специфических описаний структур, наделенных в разных случаях смыслом базисных, и построенных по модели функциональной связанности, например ортогональной симметрии Евклидова пространства, требует его анализа в смысле влияния подобной широты возможностей на соотносимое с предметом математики в целом представление о присущем такому отделу бытия принципе рациональности.

Если теоретически обобщить сказанное о содержании четвертой проблемы философии математики, то фактор структурного многообразия математических формаций и упорядоченностей посредством его обобщения и трансформируется в интегральное представление о внутренней рациональности математики. Хотя как всякое человеческое математическое представление, он лишь приближается к некоторой истинной картине рациональности сферы математики, но, тем не менее, и в своей актуальной форме такое представление отображает рациональность собственно математической сферы относительно актуально достигаемой человеком глубины ее познания. В определенном смысле философское представление о внутренней рациональности математики оказывается и представлением о глубине достигнутого человеческим познанием понимания математики. [6]