История философии математики

Содержание

Введение
1. История развития философии математики
1.1. Философия и математика в Древней Греции.
1.2. Философия и математика в XVII веке.
1.3. Философия и математика в эпохе просвещения.
1.4. Философия математики и анализ природы математического познания в немецкой классической философии.
1. 5 Математика и философия во второй половине XIX века.
2. Основные подходы к исследованию философии математики
3. Четыре основные проблемы математики
Заключение
Список использованных источников

Введение

Вопрос об отношении математики к реальному миру является одним из основных для объяснения природы математики как науки. Только ответив на вопрос о происхождении и содержании математических понятий и теорий, можно ставить и разрабатывать остальные философские вопросы математики. Толкование этих вопросов существенно зависит от того, истолковываются ли математические понятия и утверждения как отражение свойств объектов и процессов реального мира или же они трактуются как продукт совершенно "свободного" творчества субъекта (субъективный идеализм), либо относятся к миру "идей", имеющих якобы самостоятельное существование (объективный идеализм).

История споров на эту тему насчитывает тысячелетия и уходит корнями еще в Древнюю Грецию. Как бы ни подходили философы и математики к решению вопроса об отношении математики к реальности, конечным результатом их рассуждений обычно бывали следующие заключения. Материалисты доказывали, что понятия и законы математики являются копиями, отражениями, полученными в процессе абстрагирования от реальных вещей, их свойств и отношений между ними. Субъективные идеалисты утверждали, что основные понятия и законы математики являются продуктами "свободного" мышления людей. Объективные идеалисты пытались доказать, что объекты математики – самостоятельные сущности, существующие независимо от мира реальных вещей, в каком-то особом мире "идей", "идеальных объектов".

В течение столетий сторонники материалистического и идеалистического толкований вели борьбу. Но где и как бы ни развертывалась эта борьба, она всегда концентрировалась около вопроса об отношении математики к материальной действительности

История философии математики

1.1. Философия и математика в Древней Греции.

Впервые в истории исходные направления философской мысли и элементы математического познания в тесной связи начали рассматривать в Древней Греции. Произошло это около VI века до н.э и с тех пор начался совместный путь развития этих наук.

Основы математики как доказательной науки заложила Милетская философская школа, основными деятелями которой являлись Фалес (около 624-547 гг. до н. э), Анаксимандр (около 610-546 гг. до н. э) и Анаксимен (около 585-525 гг. до н. э). Громадный сдвиг, осуществлённый в греческой математике, заключается в идее доказательства или дедуктивного вывода. Доказательство первых геометрических теорем приписывается выдающемуся греческому философу Фалесу. Согласно Проклу, Фалес впервые доказал, что вертикальные углы равны, что углы при основании равнобедренного треугольника равны и что диаметр делит круг пополам. Если верно, что дедуктивный метод в математику был внесён Фалесом, то надо констатировать, что математика в Греции, начиная с этого момента, развивалась чрезвычайно быстрыми темпами, и прежде всего в плане логической систематизации. Фалес и его последователи воспринимают математику как нечто большее, чем аппарат для решения производственных задач, в их мировоззрении отдельные, наиболее абстрактные элементы математики вплетаются в натурфилософскую систему.

Существенный вклад в развитие философии математики внесла школа Пифагора (около 580 - 500 до н. э). Пифагор рассматривал число, количественную определённость, как сущность вещей. Основной тезис пифагореизма состоит в том, что "всё есть число". Пифагорейцы искали различные аналоги, числовые и геометрические соответствия в окружающем мире, надеясь найти в них разгадку самой природы вещей. Мысли о случайности таких совпадений ещё не возникало. В отличие от Милетской школы, в Пифагорейской математические объекты рассматривались как первосущность мира, что радикально изменило само понимание математических объектов. Пифагорейцы ограничивают область математических объектов наиболее абстрактными типами элементов и сознательно игнорируют положение математики для решения производственных задач.

В учении Платона (427-347 гг. до н. э) математические истины рассматриваются как врожденные, они представляют собой впечатление об истине самой по себе, которые душа получила пребывая в более совершённом мире, в мире идей. Математическое познание есть по этому просто воспоминание, оно требует ни опыта, ни наблюдения природы, а лишь ведения разума. Математик, согласно Платону, изучает особые идеальные сущности, в отличие от сущностей, данных в опыте, эмпирических. "Когда геометры - говорит Платон, - пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертёж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают для четырёхугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили". Геометрические фигуры сами по себе (в отличие от чертежей) можно видеть только "мысленным взором".В этих рассуждениях Платоном впервые был поставлен вопрос о специфике объектов изучаемых математикой, который является одним из основных и в современной философии математики.

Существовала так же и более реалистичная философия математики, примером которой может послужить атомизмЛевкиппа и Демокрита. Известно, что Демокрит отрицал возможность геометрических построений в пустоте: геометрические фигуры были для него не умозрительными сущностями, а прежде всего материальными телами, состоящими из атомов. Демокрит не допускал бесконечной делимости отрезка: по его мнению, отрезок состоит из большого числа далее неделимых частей. Однако и допущение, что отрезки состоят из неделимых частей, приводило к противоречиям. В частности отсюда следовало, что неизмеримых величин не существует. Математически атомизм появился скорее как частная эвристическая идея в геометрии, чем как особый взгляд на природу математики в целом. Однако, он неявно содержал в себе определённую антитезу пифагореизму. Если для пифагорейцев математические объекты (числа) составляли основу мира в антологическом смысле и основу его понимания, то в атомистической эвристике математические закономерности выступают уже как вторичные по отношению к атомам как первосущностям. Физическое здесь логически предшествует математическому и определяет свойства математических объектов.

В основе философии математики Аристотеля (384 - 322 гг. до н. э) лежит понимание математических знаний как отражение объективного мира. Математика была для Аристотеля одним из источников формирования ряда разделов его философской системы. Аристотель широко критикует философию математики, предложенную пифагорейцами, отмечая, что основной их грех состоит в том, что они мыслят о природе, не считаясь с фактами, и искусственно приводят факты в соответствии с числами, придумывая для этого фиктивные сущности. Математика по Аристотелю - это не знания об идеальных сущностях, существующих независимо от вещей, но знания, отвлеченные от вещей.

Таким образом, уже в исходном пункте своего развития теоретическая математика находится под активным воздействием острой борьбы двух основных типов мировоззрения - материалистического по своей основе мировоззрения милетской школы и религиозно-идеалистического мировоззрения Пифагора и его ближайших последователей. В разных мировоззренческих системах существенно иными оказываются: понимание природы математического знания, выбор объектов исследований, отношение к прикладным задачам, то есть личные важнейшие стороны математической деятельности. [1]

1.2. Философия и математика в XVII веке.

В эпоху Средневековья, не смотря на то, что математические и логические истины были постоянным объектом схоластики, существенных переворотов в математике не наблюдалось. Философия математики так же стояла на мертвой точке: она не вышла за рамки пифагореизма в его платонистской и неоплатонистской интерпретации. Только в XIV - XV веках в Европе началось возрождение творческого математического мышления в арифметике, алгебре и геометрии. Важными результатами естественнонаучного направления в философии эпохи Возрождения были методы экспериментально-математического исследования природы.

Воззрение Н. Коперника, Дж. Бруно, И. Кеплера, Г. Галилея, Р. Декарта, И. Ньютона и Г.В. Лейбница представляют основное течение формирования новой системы взглядов на мир. РенеДекарт (1596-1650) является одним из выдающихся математиков XVII века, создателем аналитической геометрии. Декарту принадлежит идея создания единого научного метода, который у него носит название "универсальной математики" и с помощью, которого Декарт считает возможным построить систему науки, могущей обеспечить человеку господство над природой. Научное знание, как его предвидит Декарт, это не отдельные открытия, а создание всеобщей понятийной сетки, в которой уже не представляет никакого труда заполнить отдельные ячейки, то есть обнаружить отдельные истины. Согласно Декарту, математика должна стать главным средством познания природы, позволяющим решать все математические и не математические проблемы – «нужно лишь следовать по тому же пути». Однако уже самому Декарту приходится искать не алгебраические пути при решении некоторых задач. Требовалось изменить статус алгебры как универсального математического метода. В силу жесткой связи между математическим методом и общей методологией познания, такое изменение затрагивало основы философской системы. Реформа алгебры, проведенная Декартом, осуществлялась как один из основных этапов построения его философской методологии. Введение символических обозначений, методика сведения всякой проблемы к математической задаче, решение последнее как составление уравнений и нахождение их корней обосновывается исходя из общих представлений о процессе познания.

И. Ньютон (1643-1727) синтезирует многочисленные исследования, проведенные его предшественниками и им самим, и создает принципиально новую систему знаний о природе. В своих "Началах" он впервые создал математическое естествознание о смысле математического изучения механических, физических и астрономических явлений, исходя из единого основания. Математика, согласно Ньютону, играет очень важную роль: ее понятия являются как бы прообразами и необходимыми компонентами фундаментальных понятий теоретического исследования. В "Началах" натурфилософские представления времени пространства, места и движения формализуются, в них выделяется математически точный компонент. Ньютоном был разработан универсальный метод построения касательных - метод флюксий, являвшийся, по сути, методом нахождения производных. Создание теории флюксий Ньютона было осуществлено в органическом единстве математических знаний философских идей. Философские понятия выполнили синтезирующую роль по отношению к фактам математического знания. Благодар трудам Ньютона широкое распространение получает мнение, что посредством математики и механики, которые разъяснили столь многое, можно объяснить всё. Когда же обнаружилась неспособность "математизированной метафизики" выполнять возложенные на неё функции, то это послужило одним из оснований для дискредитации всей системы механического материализма, повода для возрождения идеалистических и теологических позиций в науке.

Подобного рода тенденция находит проявление в работах Г.В. Лейбница, который становится одним из приверженцев новой науки. Он предсказывает неудовлетворение механической картиной мира и делает попытку изменить её. Великой заслугой немецкого мыслителя было то, что он, хотя и в теологической форме, но подходил к принципу неразрывной (и универсальной, абсолютной) связи материи и движения. Неудовлетворённость сложившимися средствами решения математических задач и стремление создать новый общий метод математики у Лейбница обусловлены методологическими соображениями. Многие основные черты нового метода математики (дифференциального исчисления) выступают как конкретное преломление применительно к математическому познанию определяющих характеристик его философской методологии. Обоснование анализа проводится преимущественно метафизическими рассуждениями.[3]

1.3. Философия и математика в эпоху просвещения.

"География" эпохи Просвещения весьма обширна. Философское познание и математическая деятельность активно развиваются в странах Западной Европы, в России, на Американском континенте. Логическая противоречивость оснований анализа, несогласованность между его идейным содержанием и вычислительным аппаратом делали его уязвимым для критики. Этим не замедлили воспользоваться те представители идеалистической философии, которые хотели дискредитировать математику, развитие которой осуществлялось преимущественно на материалистической основе.

Наиболее видным философом такого типа является Дж. Беркли (1685-1753 гг.). В своей основной работе - "трактат о началах человеческого знания, в котором исследуются главные причины заблуждений и трудности наук, а так же основания скептицизма, атеизма и безверия" - Дж. Беркли объявляет причиной всех указанных в заглавии зол материализм и основную задачу работы видит в опровержении фундаментального понятия материалистического мировоззрения - понятие материи. Чтобы разорвать связь математики с материализмом, Беркли стремится максимально привязать её чувственно воспринимаемым образом, дать ей субъективистскую трактовку, а всё что не поддаётся такой трансформации, удалить, ссылаясь на практическую бесполезность и умозрительность. Поэтому Беркли отрицал бесконечное в форме бесконечной делимости конечного, и в форме бесконечно малых и больших величин. Английский философ представляет математику как науку об идеях, получаемых от ощущений. Её объекты - это знаки, обозначающие комплексы идей. Беркли пытается изменить не только "внутреннюю жизнь" математики, но и применимость её в других науках. Беркли выдвигает свою концепцию математики как логическое следствие субъективно-идеалистической философии, и тот факт, что эта концепция оказалась регрессивной, свидетельствует о порочности той философской основы, на которой она воздвигнута. Беркли в угоду своей философской доктрине деформирует процесс научного познания в той степени, что прогресс его становится невозможен. Его учение об идеях явилось переходной ступенью к возникновению агностицизма в форме юмизма. Последующее развитие математики не оправдало надежды Беркли.

Однако, не смотря на критику со стороны философов, придерживающихся субъективного идеализма, английской математике удалось сохранить материалистическую платформу в виду существенной роли материалистических традиций в английской философии. Среди английских философов - материалистов конца XVII -первой половины XVIII веков, особого внимания заслуживают воззрения Джона Толанда (1670-1722), который уделял много внимания анализу таких понятий как материя, движение, пространство, время, анализировал связь математического познания с физическим и философским. Историческая заслуга Толанда состоит в выдвижении и обосновании положения о том, что "движение есть существенное свойство материи… Столь же неотделимая от ее природы, столь не отделимы от нее непроницаемость и протяжение". Толанд заложил основы для нового понимания природы математического познания. Он указывал, что содержание математических понятий берется из реально существующего мира, что различие между математическим и реальным объектами постоянно надо иметь ввиду при пользовании метода математической дедукции.

Видным представителем философской мысли континентальной Европы, деятельность которого тесно связана с математическим познанием, в рассматриваемый период был Христиан Вольф (1679-1754). Идеалом научной системы у Вольфа выступает математика: во-первых, в силу "несравненно хорошего порядка, коим содержащееся в ней учение предназначается и утверждается", во-вторых, потому что ее знания "как в истинном познании естества, так и в человеческой жизни весьма много приносят пользы. Под методом математики он понимает "порядок, который математики употребляют", когда изложения своих знаний начинают с определений, аксиом, затем переходят к теоремам, проблемам, примечаниям т.д. Вольф все подвергает рассудочной обработке, классифицирует, определяет, дедуцирует. Просветительская деятельность Вольфа, её стремление к ясному, точному, доступному изложению знаний имели в определённой мере положительное значение. Способ изложения математики в его системе абсолютизирован до предела и это оказало регрессивное влияние, как на развитие философии, так и на развитие математики. Необоснованное стремление представить математический способ построения системы науки как универсальное средство постижения истины, в конечном итоге, привело к подрыву авторитета математики, к дискриминации процесса математизации научного познания.

Из российских ученых деятелей, повлиявших на развитие философии математики, следует особо отметить М.В. Ломоносова (1711 - 1765). Математический метод рассматривался учёным не только как способ упорядоченья знаний, ему отводилась роль важного эвристического средства по отношению к другим наукам, его исследования во многих областях науки основывались на количественном анализе. Если сравнить воззрение М.В. Ломоносова на природу математики с третированием этой науки у Беркли или с догматическим наложением математической схемы на чуждое ей содержание у Х. Вольфа, то нужно признать, что великий русский учёный придерживался значительно более продуктивной методологической основы математической деятельности и в этом отношении может быть отнесён к наиболее прогрессивным мыслителям мирового масштаба первой половины XVIII века.

Среди мыслителей Франции вопрос о философии математики ставят перед собой такие выдающиеся личности как Кондорсе, Гельвеций, Руссо и Дидро. Кондорсе и Гельвеций считали, что математика возникла лишь на определённом этапе развития человеческой культуры и развивалась поступательно. Возникновение исходных геометрических и арифметических знаний Кондорсе связывает с необходимостью удовлетворения производственных потребностей. Обобщая пройденный научным познанием путь, Кондорсе приходит к выводу, что ни одна наука не может спуститься ниже той ступени, на которую она возведена. Существенно иного мнения придерживался Руссо и особенно Дидро. Последний считал: "По той склонности умов к морали, к литературе, к истории природы, к опытной физике, которая замечается в настоящее время, я почти с уверенностью скажу, что не пройдёт и ста лет, как в Европе нельзя будет насчитать и трёх великих геометров". [2]

В первые десятилетия XVIII века наблюдается потеря интереса математиков к философии. Это можно объяснить, тем, что математика перешла на эволюционный этап развития, предшествующая метафизика исчерпала в значительной степени свои возможности по отношению к математике. Связь математики с философией становится опосредованной через фундаментальные принципы и понятия анализа, которые как бы насыщенны необходимыми философскими идеями. Изменилось в начале XVIII века и отношение философов к математике. В философских трактатах анализ природы математического познания если и имеет место, то в значительно меньших масштабах. За редким исключением, ничего существенно нового в разработку философских проблем математики внесено не было. Утрачивается единодушие в высокой оценке значимости математики в познании. Математическая философия эпохи Просвещения по сравнению с другими существовавшими философскими учениями создавала наиболее благоприятные условия для прогресса математики и оказала на нее многообразное воздействие. Она ломала косность мышления, устаревшие традиции, стремилась рационально объяснить основные аспекты жизни общества и тем самым создавала творческую атмосферу для усовершенствования математических знаний.

1. 4. Философия математики и анализ природы математического познания в немецкой классической философии.

В 18 веке в Германии начинается революция в области философии. Кант начал ее тем, что ниспроверг устарелую систему лейбницевской метафизики, которая к концу прошлого столетия принята была во всех европейских университетах. Фихте и Шеллинг начали перестройку философии, а Гегель завершил новую систему. Немецкая классическая философия представляет одно из наиболее грандиозных созданий человеческого разума. Ее непреходящее историческое значение состоит в том, что в ней, хотя и в ложной, идеалистической форме, осуществлялась систематическая разработка диалектики.

Великая заслуга Канта состоит в том, что после Аристотеля ему удалось создать наиболее обширную, логически развернутую систему философии математики. Но если философские принципы не совсем соответствуют природе математики, а их догматически пытаются внедрить в нее, то идейное содержание данной науки деформируется. Подобного рода негативные моменты воздействия философии на математику находят проявления в творчестве Канта. Так, обнаружив несоответствие некоторого философского положения с фактом математического познания, он критически подходит к выяснению того, что же в таком случае требует изменения - философское положение или трактовка математических законов. Согласно Канту, понятие геометрии и арифметики не являются отражением структуры космоса, как думали пифагорейцы, и не извлечены посредством абстракций из опыта, но представляют собой отражение чистого или априорного созерцания, присущего человеку наряду с созерцанием эмпирическим. Геометрия по Канту не что иное, как выраженная в понятиях чистая интуиция пространства, арифметика находится в таком же отношении к чистому представлению времени. Математика, таким образом, может быть определена как система синтетических суждений, выражающая структуры априорных форм чувствительности. Как система выводов и доказательств математика должна быть полностью интуитивно ясна: по Канту, все математические доказательства "постоянно следуют за чистым созерцанием на основании всегда очевидного синтеза".

Философское наследие Фихте не содержит столь же богатого материала для изучения проблемы взаимосвязи философии и математики, как это имеет место в сочинениях Канта, но, тем не менее, ряд рассуждений затрагивает некоторые её интересные аспекты. Кроме рассуждений о процессе взаимосвязи философии и математики в работах Фихте имеются и некоторые более конкретные замечания по отдельным философским проблемам математики, в частности, несколько видоизмененные изложения кантовской концепции пространства. Фихте, считает, что "протяжённость в пространстве есть не что иное, как самосозерцание свой способности быть бесконечным в созерцающим".

В сочинениях Шеллинга встречаются отдельные натурфилософские размышления о природе математики и её основных объектов: о пространстве и времени, соотношении бесконечного и конечного и т.д. Единство и различие философии и математических наук он связывает с различным пониманием соотношения конечного и бесконечного.

Обращение к анализу математического познания у Гегеля, судя по его первому крупному произведению - "Феноменология духа", обусловлено мотивами, подобными тем, которыми руководствовался Кант. У обоих мыслителей интерес к математике направлялся стремлением к достижению единой цели: Кант пытался построить метафизику как систему достоверного знания, Гегель заявил, что его намереньем "было - способствовать приближению философии к форме науки - к той цели, достигнув, которой она могла бы отказаться от своего имени "любви к знанию" и быть "действительным знанием"". Если Кант считал, что философское и математическое знания по достоверности в идеале могут быть однородными, то Гегель убежден, что природа математических истин "отличается от природы философских истин". Математика, как пишет Гегель, считается наукой, прежде всего потому, что она доказательна. Только доказанное положение считается правомерным элементом системы, в математике "полное выведение результатов есть ход и средства познавания". Союз между философией и математикой может быть действительным, если он основан на взаимном интересе. Гегель в принципе считал необходимым обращение математиков к философии. Что касается обращения философов к математике, то по этому вопросу он занял иную позицию, не способствовавшую укреплению союза данных наук. "Поскольку очевидность в математике "покоится лишь на бедности ее цели и несовершенстве ее материала", то она неприемлема в философии". Сам Гегель, если учесть, что он не был специалистом математики, для своего времени был очень хорошо знаком, как с историей математики, так и с ее новыми достижениями на уровне распространенных учебных пособий высшей школы.

1. 5 Математика и философия во второй половине XIX века.

В историческом процессе было создано не мало концепций философии математики, отличающихся между собой как по заложенным в их основу философским принципам, так и по содержанию тех математических знаний, которые в них используются. Определяющим компонентом философии математики выступает ее философская основа, в силу этого классификация данных концепций может быть по тому же критерию, по которому классифицируют философские системы.

К. Маркс и Ф. Энгельс сумели четко определить такого рода критерий и сформулировали его как вопрос об отношении мышления к бытию, сознания к материи, назвав его основным вопросам философии. При философском анализе математического познания основной вопрос философии может быть сформулирован как вопрос об отношении математического познания к действительности. Материалистическое решение данного вопроса у Энгельса приводит к характеристике математики как абстрактной науки, "занимающейся умственными построениями, хотя бы и являющимися отражениями реальности". Тот факт, что эти умственные построения (числа, фигуры, величины) или тот материал, с которым математика непосредственно имеет дело, принимает "чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира". Подчеркивая, что свойства и отношения материального мира первичны по отношению к объектам математики, что данные объекты органически связаны с ними, Энгельс тем самым на новой основе возрождает материалистическую позицию мыслителей ХVII - ХVIII веков. Сохранив положения об опосредованности объектов математики мыслительной деятельностью, Энгельс называет их умственными построениями, но, в противоположность Гегелю, эти объекты понимаются не как формы выражения каких-то аспектов абсолютной идеи, а как отражения материального мира. В силу этих вышеизложенных соображений Энгельс приходит к совершенно справедливому и логически обоснованному выводу о том, что математика является необходимым фрагментом общей естественнонаучной картины мира. Без нее эта картина мира была бы, очевидно, неполной. Именно философский синтез, объединяя, позволяет создать, общее, целостное, диалектическое представление о природе. Философия К. Маркса и Ф. Энгельса утверждает необходимость творческого союза философии и других наук, в том числе и математики. Данный союз основывается на объективных потребностях использовать философские знания развитии математики и, в свою очередь, учитывать результаты математического познания в философских исследованиях.К. Маркс и Ф. Энгельс особенно много внимания уделяли анализу процесса взаимосвязи философии и естествознания. Учитывая родственность теоретического познания и математики, большинство высказанных ими положений непосредственно относится и к проблеме взаимосвязи философии и математики.

В свою очередь математика оказывает существенное влияние на философскую мысль. Ее развитие подтверждает на конкретном материале истинность положений диалектико-материалистической философии. Энгельс находил в этой науке "диалектические вспомогательные средства и обороты", К. Маркс в "Математических рукописях" на основе анализа математического познания выявил ряд общих закономерностей познавательной деятельности, в частности идею об оборачиваемости метода познания. Содержание ряда математических понятий в обобщенном виде может быть использовано для обогащения соответствующих философских категорий. Математический аппарат широко используется классиками марксизма как вспомогательное средство в философских работах.

Выработанная классиками марксизма концепция математического познания в ХIХ веке не была единственной. Параллельно существуют другие философские течения, которыми тоже занимались в математике. Одной из самых распространенных и влиятельных философских теорий в начале второй половины ХIХ столетия в Германии было волюнтаристское, и рационалистическое учение А. Шопенгауэра (1788 - 1860). Исходя из принципов и волюнтаризма, Шопенгауэр негативно относился к исследованиям по обоснованию математики, к повышению логической строгости математических доказательств. С его точки зрения высшую степень достоверности дает непосредственное созерцание связи между элементами доказываемого положения. "Пригодность математики - лишь косвенное: именно, ею следует пользоваться для тех целей, которые достижимы только посредством нее; сама же по себе математика оставляет ум на той же ступени, где она его нашла, и не только не способствует его дальнейшей культуре и развитию, но даже прямо задерживает их".

К одним из самых популярных последователей Шопенгауэра можно отнести прежде всего Э. Гартмана (1842-1906). Гартман принимает кантовское положение, но считает "за лучшее место оснований Канта предложить для его положения другие доказательства". В то время математики интенсивно занимались уточнением основ своей науки, совершенствовали аксиоматику и механизм дедуцирования. Гартман как будто бы поддерживает их усилия. Он оказывает, что через математику "проходят два метода: дедуктивный или дискурсивный и интуитивный". Однако он стремился подорвать доверие к дедуктивному методу и на его место поставить метод интуитивный.

В 50-х годах ХIХ века оформляется в относительно самостоятельное течение так называемый вульгарный материализм. Основные представители этого течения - К. Фохт (1817-1895), Я. Молешотт (1822-1893), Л. Бюхнер (1824-1899). Математика анализируется данными исследователями очень слабо. При рассмотрении отдельных философских проблем математики они явно склоняются на позиции узкого эмпиризма. Позитивным у них является утверждение о существовании объективного аналога математических знаний: зиждется исключительно на объективных отношениях, пишет Л. Бюхнер, - без которых не были бы возможны также и математические законы; вот почему математику следует причислять к естественным, а не к философским и спекулятивным наукам. Но это утверждение сочетается с отрицанием объективного содержания математических понятий вне чувственно наглядных образов, с умалением роли абстрактных теоретических построений. "Понятия пространства, величины, протяжения, высоты, ширины, глубины получены лишь из чувственного опыта и не существовали бы без него. Таким образом, общий принцип всей математики добыт эмпирическим путем".

Наиболее благожелательное отношение к математике по сравнению с рассмотренными идеалистическими школами обнаруживается у неокантианцев. Самый старый и значительный из неокантианцев Ф. Ланге истолковывает кантовский априоризм как психофизиологическую теорию. Ланге придал своей философии социально-политическую ориентацию и каких-то новых идей относительно природы математики не высказал. В 70-х годах неокантианство как бы расслаивается на два главных направления - Баденскую и Марбургскую школы. Видным представителем первой были В. Виндельбанд (1848-1915) и Г. Риккерт, второй - Г. Коген (1842-1912) и П. Наторп (1854-1924). Представители баденской школы положительно оценивали использование математики естествознания, но были против использования ее при изучении социальных явлений. В пределах марбургской школы особенно много внимания анализу математического познания уделял Г. Коген. Абсолютизируя роль математической абстракции познания, Коген считает, что задача философии исследовать строго трансцендентальные объекты, которые носят рассудочный характер. Он объявляет, что "факты науки" формируются фактически исключительно творческой силой мышления. Ценностью представляется только путь познаний, а не та цель, к достижению которой оно стремится. Способ обоснования математических положений через установление их взаимосогласованности логической связи с исходными понятиями переносится Когеном на весь познавательный процесс в качестве универсального средства установления личности.[4]

Сопоставляя реальный процесс развития математики с развитием философской мысли во второй половине ХIХ века, можно сделать заключение, что наиболее глубокой и всеобъемлющей философской концепцией математического познания является система взглядов К. Маркса и Ф. Энгельса. Они применили диалектико-материалистический метод к истории развития математики и ее новым достижениям. Они сумели дать ответ на наиболее важные мировоззренческие и методологические проблемы, поставленные на повестку дня прогрессом математики ХIХ века.